第 2 題.
對任意實數 xy，由柯西不等式得
(x2+(3)2)((3)2+y2)(3x+3y)2=3(x+y)2 

將 (xy)=(ab)(bc)(cd)(da) 分別代入上式，並相乘得

(a2+3)(b2+3)(c2+3)(d2+3)281(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)2 

(a2+3)(b2+3)(c2+3)(d2+3)9(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)9(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)

第 8 題. 用 tan 之值，配合圖形會比較快

如果有畫圖的畫，會知，在三角形在 L1 上的兩頂點所在的內角皆為銳角

2021.04.17.110高雄女中8.png (6.49 KB)

2021-4-17 18:48

並作 L1 上的高，直接用兩個正切值就可以得到高的長度及面積了

所求面積 =219090730=945 
(利用斜率及差角公式可求得圖中 tanA=719tanB=711 )

第 5 題，也算常見的考古題了
1. 設過原點 (00) 有三條相異直線與 f(x)=x3+kx2+1 相切，則實數 k 值的範圍為 __________。(100楊梅高中、99台中二中、102復興高中)

2. 三次曲線y=x3+ax2+1，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數a的範圍為。(107中科實中國中部)

3. 三次曲線 y=x3+ax2+x+1，若由原點可作三條相異之切線，試求實數 a 的範圍。(101中科實中、96台中一中)
瑋岳老師的解答：https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=5#pid5091

4. aR，過 P(a2) 作 y=f(x)=x3−3x2+2 的切線，若所作的切線恰有一條，求 a 的範圍。(97大里高中)

5. 三次曲線 y=x3+kx2+x+1，若由原點恰可作兩條切線，試求實數 k 範圍。(102松山家商)

6. 已知函數圖形 :f(x)=x3−x，而點 P(a0) 是圖形外一點，若過 P 恰可作相異三條的切線，則 a 的範圍為 。(102北門高中)

7. 平面上動點 P(ab)，已知通過點 P 對函數 f(x)=−x3+2x+3 圖形可做三條切線，找出符合的關係式。(106高雄女中)

第 3 題
依正射影公式可計算 (xy)
a2+b2(xy)(ab)(ab)=a2+b2a2x+abya2+b2abx+b2y 

因此線性變換 T 的表示矩陣為 1a2+b2a2ababb2 

第 7 題，算得有點醜，如有錯誤，還請指正

令 SP=2xSR=y，則(3x+y)2+x2=624x2+y2+23xy=36 。

而圓柱側面積為 2xy。

由算幾不等式有 24x2+y24x2y2=2xy(4+23)xy36xy36−183 

因此可得 y=2x 時，圓柱有最大側面積，此時 x=23(6−2) 

而此圓柱的體積為 (2x2)2y=2x3=816−1352 

只能自己算，然後找人對答案
1. 0
2. 見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3501&page=1#pid22473
3. 1a2+b2a2ababb2 
4. 53
5. 4
6. 35
7. 816−1352 
8. 945
9. (321−62)(−21−22)(21+22)(321+62) 
10. 3432 (或另一種解讀 2490)
11. 2040
12. 59640

30# farmer 老師所提，只關心對戰方式，不關心對戰結果
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3501&page=3#pid22512

兩種並列的原因是因為此份試題為考生記憶版，無法確定原題之敘述

找一下當初算的，只留下一個答案...
看起來最大可能就是我算錯了