填2. 另解

選擇題 (Y) 對計算題 (X) 的迴歸直線方程為 y=825x+251156

而分數的關係式為 yi=825xi+251156+ei，其中 Cov(XE)=0, Var(E)=(1−062)Var(Y)。
(紅字是重點，利用 Cov(Z+W)=Cov(ZZ)+2Cov(ZW)+Cov(WW)Cov(ZZ)=Var(Z)Cov(WZ)=rzwzw 可證明之)

總分 X+Y:  xi+yi=2533xi+251156+ei

Var(X+Y)=(2533)2225+(1−925)82=433，故標準差為 433 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-25 10:26 PM 編輯 ]

你的方法有你的方法的好處，親民易懂；我這樣寫，說不定有人覺得很詭異，跟天書一樣

我剛好記得那奇怪的式子，一般高一的課本或教師手冊很少把迴歸直線、相關係數談的這麼細

之前做教甄某題的時候，曾經重推一下這件事。

令我訝異的是，康熹版的高一課本，竟然那一段，用誤差來解釋相關係數：誤差的變異數，只有原變異數的 (1−r2) 倍。

不過後來康熹好像又對課本做來修改，那段不知道還在不在？

紅字的另一個解釋，是線性代數正射影、正交分解的觀點，把 Cov(XY) 或 r 當作在處理內積、正射影係數，

正交分解完後，XE, E 的長度可用畢氏定理計算，翻譯回 Var, Cov 的語言，就是 Cov(XE)=0Var(E)=(1−r2)Var(Y)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-25 10:53 PM 編輯 ]

無聊做一下，填充 1.

可分成(依序紅黃藍綠)奇奇奇奇、奇奇偶偶，轉換成方程式的非負整數解

(2x+1)+(2y+1)+(2z+2)+(2w+2)=30 或 (2x+1)+(2y+1)+(2z+1)+(2w+1)=30

x+y+z+w=12  or  13

故所求 = H412+H413=1015

hua0127 的這個方法寫得更清楚、簡潔，雖然本質差不多

但是我的寫法，還繞一點不必要的路 Var(E)，考試的時候記得要這樣做

計算 2

1. 先證 cos(−)=−21

(cos+cos)2+(sin+sin)2=cos2+sin2

2+2cos(−)=1cos(−)=2−1

2. 再證 cos(+)=−(cos2+cos2)

cos2+cos2=2cos(+)cos(−)=−cos(+) by 1

3. 證明 cos2+cos2+cos2=0

(cos+cos)2−(sin+sin)2=cos2−sin2

cos2+cos2+2cos(+)=cos2

cos2+cos2+cos2=0 by 2

4. 先證 sin(+)=−(sin2+sin2)

sin2+sin2=2sin(+)cos(−)

sin2+sin2=−sin(+) by 1

5. 證明 sin2+sin2+sin2=0

\sin\gamma\cos\gamma=(\sin\alpha+\sin\beta)(\cos\alpha+\cos\beta) ，和差化積得

\Rightarrow\frac{1}{2}\sin2\gamma=2^{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

\Rightarrow\frac{1}{2}\sin2\gamma=\sin(\alpha+\beta)\cdot(1+\cos(\alpha-\beta))

\Rightarrow\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma by 1,4.

另證. 向量 (\cos\alpha, \sin\alpha), (\cos \beta, \sin \beta), (\cos \gamma. \sin \gamma) 頭尾相連形成一個三角形，故兩兩夾 120^\circ 。

不失一般性，可假設 \beta  = \alpha + 120^\circ , \gamma = \alpha - 120^\circ ，代入，和角公式，即得證。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-27 10:17 PM 編輯 ]