20 題

用巴貝琪定理，所求即為 f(2013) (有沒有差負，和它不熟)

給 2011 個值， deg 2010 ，恰好能唯一決定，該多項式，否則就不唯一唯了

橢圓兄是否題目看錯了什麼，Sigma 中有一項有 f(2012) 是題目沒給的

應該無法直接用軟體驗算

補上計算...

xf(x)=2x+1g(x)=xf(x)−(2x+1)=ck=1(x−k)f(x)=xck=12011(x−k)+1+2 , for x=0

又 f 在 0 連續，所以 c=12011!

由差分，或巴貝琪定理，所求即 −f(2013)=−201312011!2012!+1−2=−1−2=−3

有計算錯誤的話，麻煩指正一下

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-4-29 10:21 AM 編輯 ]

來補一下 17.19 題

17題 考慮一個籌碼的期望值為 x

則 x=61(100+x)+136(240+2x)

解得 x=30

所以十個籌碼就是 3010=300

19 題

將未兩位是四的倍數分組，
除以 3 餘 0 的有 0,12,24,36,60 共 5 個；
餘 1 的有 4,16,40,52,64 共 5 個；
餘 2 的 20,32,44,56 共 4 個。

而前三位除以 3 之餘數：可考慮生成函數 (2+2x+2x2)(3+2x+2x2)2=18+42x+74x2+72x3+56x4+24x5+8x6。

0, 3, 6 次的係數和為 98，1, 4 次的係數和為 98，2, 5 次的係數和為 98。

所以，所求為 598+598+498=1498=1372

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-3 10:46 PM 編輯 ]

其實不用生成函數，也可以做得很漂亮

只是不知道那時候哪根筋不對，就那樣寫

來個正常的方法好了

先看個位和十位，可以找到 14 組是四的倍數，

百位和千位任意填，這時候，不管目前這個四位數是什麼

萬位數必定只有兩種選擇 (1,4) 或 (2,5) 或 (3,6) 使得這個數成為 3 的倍數

生成函數厲害的地方在於結果不是這麼漂亮的時候，也可以做

一次處理，把個位、十位分三組後，要怎樣填才會是 3 的倍數的方法數

也就是三個願望一次滿足

所以如果有興趣，可以改改數字，或加上其它數字，再用兩個方法比較比較

12 題，微分法

微分為 0，即 2(sinxcosx)32sin25x−cos25x=0

2sin25x=cos25xtanx=1252 (因 0x2)

log2(tanx)=−52

當然應該檢查一下一次微分的在 critical point 左右兩端的正負號，再能保證是最小值