1.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left[\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n+n}}\right]=\)　　　。
[提示]
想辦法改寫成黎曼和

或是參考一下這篇的例子
https://math.pro/db/thread-563-1-1.html

第七題，就是畫圖而已

第四題，看到圓錐曲線切線，第一個反射到光學性質

從光學性質和拋物線的定義，可得焦點對切線作對稱，必在準線上

所以反過來，將準線對切線做對稱，得到另一條，和對稱軸對交點，即是焦點

有了焦點、準線，計算方程式就不是難事

第七題
方程式\(\displaystyle cos \pi x=\frac{x}{4}\)的實根有　　　。
[解答]
也許是畫圖這個提示不太精準

個人猜測，應該是接近 4，漏數了一個

那就請 Wolframe Alpha 畫個真相好了

http://www2.wolframalpha.com/input/?i=plot+cos(pi+x),+x/4,+x+from+-2pi+to+2pi

接近 4 的地方看不太出來，再放大一點

http://www2.wolframalpha.com/input/?i=plot+cos(pi+x),+x/4,+x+from+3.9+to+4.1

回歸正題，我們當然不可能總依賴電腦作圖，

只要注意兩者交於 \( (4,1) \)，而 cos 在附近，是向下凹，所以左邊必還有一個交點

不知道以上，有沒有猜中少掉的那個點