今日練習這份試題，來補一下心臟線這題

填充 6. 以極坐標寫之可得 r=6(1+cos)

以原點、曲線上一點和 (80) 為三角形，利用餘弦定理可計算曲線上的點到 (80) 之距離平方

d()2=36(1+2cos+cos2)+64−96(cos+cos2)=100−24cos−60cos2=−60(cos2+52cos+125)+100+2560=−60(cos+51)2+5512

所以 16d25512，且在 [−1−51] 和 [−511] 皆為單調函數。

d(−1)=8, d(−51)=321011 , d(1)=4。

從單調性就可數出距離 5-10, 10-9 上下對稱各兩點，及距離 4, 8 x 軸上各一點

因此共 82+2=18 個交點。

Taylor series 都出現了，那小弟再來補牛頓法好了

填 9. 令 x=cos72+isin72，則 x+x1=2cos72 且 x6+x5+x3+x2+x+1=0。

令 y=x+x1，則 y3+y2−2y−1=0。令 f(y)=y3+y2−2y−1。

以牛頓法解之：取 y1=1, 1−f(1)f(1)=34，取 y2=34；y2−f(y2)f(y2)=34−13162125，取 y3=125；y3−f(y3)f(y3)=45−13321246。

f(124)−004, f(125)002。由勘根定理知有一實根在 (1.24,1.25)

注意該方程式有三根：2cos722cos742cos76，其中僅 2cos72 為正根。故 n=124

方法上，基本上和 7# 的牛頓法精神一樣，一個用牛頓加勘根，一個用二分加勘根。

另外挑個小瑕疵，所以知道 12cos722，但上面的式子，並沒有論證到它是這個範圍裡的唯一實根。

同意，好的帖子是讓讀者看完會有體會的！但，要怎麼樣讀者才會有所體會？

是鉅細靡遺的詳解、撬開門鎖的那把鑰匙，或隱藏背後的原始思考？

或許沒有標準答案，對每位讀者，需要的可能都是不同的吧！？

題外話：泰勒級數的解似乎不見！？

第二題，合並兩個分數項
2nn+2=1210+ 整數
檢查 n=12 不合，而 n3 時，2nn+21
故 2nn+2=1210n+2=2n−10

n+2 需為 2^k 之形式，且 n\geq 10

故可能之 n 有 14,30,62,\ldots ，再檢查發現只有 n=14 成立，其它 2^{n-10} 大於 n+2

平常在使用勘根定理時，只能保證有根，不能知道範圍中有幾個根

但若在該區域裡函數有單調性(嚴格遞增或嚴格遞減)，搭配勘根，就能確定每次只勘到一個根