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填充 8.
以下 \( k \) 為非負整數，\( n \) 為正整數。
分子部分等比求和， \( n+n^{2}+\ldots+n^{n}=\frac{n^{n+1}-n}{n-1}=\frac{n}{n-1}(n^{n}-1) \).
分母部分除以 \( n^{n} \) 得一級數，令其為 \( T_{n} \)，即 \( T_{n}=\sum\limits _{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{n}=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n} \) 及 \( \frac{n+n^{2}+\ldots+n^{n}}{1^{n}+2^{n}+\ldots+n^{n}}=\frac{n}{n-1}\cdot\frac{n^{n}-1}{n^{n}}\cdot\frac{1}{T_{n}} \).
由算幾不等式得 \( \frac{1+n\cdot\left(1-\frac{k}{n}\right)}{n+1}\geq\sqrt[n+1]{\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}} \Rightarrow(1-\frac{k}{n+1})^{n+1}\geq\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n} \)，得 \( \left\langle \left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\right\rangle _{n=1}^{\infty} \) 為遞增數列。
另知此數列的極限為 \( e^{-k} \)，因此 \( \left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\le e^{-k} \).
（寫到這，夠寫填充題答案了，等比求和、取極限）
同理可得，當固定 \( k \) 值且 \( k<n \) 時，\( \left\langle \left(1+\frac{k}{n-k}\right)^{n-k}\right\rangle _{n=1}^{\infty} \) 也是遞增數列，並且收斂至 \( e^{k} \)，故 \( \left(1+\frac{k}{n-k}\right)^{n-k}\le e^{k} \)。
倒數後得 \( \left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-k}\ge e^{-k} \Rightarrow\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\ge e^{-k}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{k} \).
當 \( k<n \) 時，由伯努力不等式得 \( \left(1-\frac{k}{n}\right)^{k}\geq1-\frac{k^{2}}{n} \).
當 \( k\le\sqrt[3]{n} \) 時，\( \left(1-\frac{k}{n}\right)^{k}\geq1-\frac{k^{2}}{n}\geq1-\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \).
令 \( m=\left[\sqrt[3]{n}\right] \)，當 \( n\geq2 \) 時，\( T_{n}=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\geq\sum\limits _{k=0}^{m}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\geq\sum\limits _{k=0}^{m}(1-\frac{1}{\sqrt[3]{n}})e^{-k}=(1-\frac{1}{\sqrt[3]{n}})\frac{1-\frac{1}{e^{m+1}}}{1-\frac{1}{e}} \).
（這個下界的逼近，其實用 \( \liminf \) 會寫得簡單很多）
另一方面，\( T_{n}=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\le\sum\limits _{k=0}^{n-1}e^{-k}=\frac{1-\frac{1}{e^{n}}}{1-\frac{1}{e}} \).
\( {\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\left((1-\frac{1}{\sqrt[3]{n}})\frac{1-\frac{1}{e^{m+1}}}{1-\frac{1}{e}}\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{e}} \), \( {\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\left(\frac{1-\frac{1}{e^{n}}}{1-\frac{1}{e}}\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{e}} \)，由夾擠定理得 \( {\displaystyle \lim_{n\to\infty}}T_{n}=\frac{1}{1-\frac{1}{e}} \).
綜合以上，\( {\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\frac{n+n^{2}+\ldots+n^{n}}{1^{n}+2^{n}+\ldots+n^{n}}={\displaystyle \lim_{n\to\infty}}(\frac{n}{n-1}\cdot\frac{n^{n}-1}{n^{n}}\cdot\frac{1}{T_{n}})=1\cdot1\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{e}}=1-\frac{1}{e} \).
式子寫太長了，如果有一些小錯誤，還請指正，或是可能有更好更簡單的下界的數列？
