填充3.
空間中有兩個半平面E與F，且E與F之交線為l，假設E與F的二面角為60，A、B兩動點分別落在E、F兩個平面上且A、B皆不在l上，又空間中一點P到E和F的距離依序為3和4，則PAB周長的最小值為　　　。
[解答]
取 P1P2 分別為 P 相對於平面 E、F 的對稱點

則有 AP=AP1 和 BP=BP2

PAB 的周長 =AP+AB+BP
=P1A+AB+BP2
P1B+BP2 (三角不等式)
P1P2 (三角不等式)

當 AB 分別為 P1P2 和平面 EF 的交點時，PAB 的周長達最大值。

半平面 EF 的二面角為 60，故 P1PP2=120 

由餘弦定理有
P1P2=62+82−268cos120=237 
故所求最大值為 237 

填充 6.
已知實數xy滿足xy281x2y243x1y1，當(xy)=(pq)時，x3y4有最小值m，則mpq的值為　　　。
[解答]
(xy2)5(x2y)2=x9y12=(x3y4)3

故 (x3y4)38152432=330

又 xy 均為正數，故 x3y4310

等式成立之條件為 xy2=81x2y=243x=9  且 y=3

故所求 mpq=31093=37=2187