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已知三角形\(ABC\)的重心為點\(G\)，且\(\overline{GC}=7\)，\(\overline{GC}=3\)，若點\(G\)至直線\(BC\)的距離為2，則\(\overline{GA}\)之長為 。
[解答]
令 \( D \) 為 \( G \) 在直線 \( BC \) 上的投影點
由畢氏定理，可得 \( \overline{BD} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \), \( \overline{CD} = \sqrt{5} \)
故 \( \overline{BC} = 3\sqrt{5} \pm \sqrt{5} \)
延長 \( AG \) 至 \( AA' \)，並使 \( G \) 為 \( \overline{AA'} \) 中點，可得 \( BGCA' \) 為平行四邊形。
令 \( \theta = \angle BGC \)
(1) 若 \( \overline{BC} = 4\sqrt{5} \)，
\( \Delta BGC \) 中，由餘弦定理可得 \( \cos\theta=\frac{9+49-80}{42}=\frac{-22}{42} \)
\( \Delta GCA' \) 中，由餘弦定理可得 \( \overline{GA'}^2 = 9 + 49 -42(-\cos\theta) = 36 \)
\( \Rightarrow \overline{GA'} = 6 \)
(2) 若 \( \overline{BC} = 2\sqrt{5} \)，
\( \Delta BGC \) 中，由餘弦定理可得 \( \cos\theta=\frac{9+49-20}{42}=\frac{38}{42} \)
\( \Delta GCA' \) 中，由餘弦定理可得 \( \overline{GA'}^2 = 9 + 49 -42(-\cos\theta) = 96 \)
\( \Rightarrow \overline{GA'} = 4 \sqrt{6} \)
