填充 12. 花了不少時間，想了一個可能比較好算的作法，但考試時好像沒這麼多時間想

我們先將這樣的正整數補齊四位，如 0024，此時將千位數定為 0、百位數定為 0。
「6的倍數，且每個位數和也是6的倍數」等價於「個位數為偶數，且每個位數和也是6的倍數」

(1) 考慮千位數為 2 的情況，6的倍數有 2004, 2010, 2016, 2022，其中 2004, 2022 兩者符合題意。

(2) 考慮千位數為 0,1，個位數為偶數的情況：
將百位數 b 與十位數 c 之和，模 6 進行分類
當 b=4,5,..,9, c =0,1,2,...9，各同餘類均出現 10 次。
當 b=0,1,2,3, c =4,5,..,9，各同餘類均出現 4 次。
當 b=0,1,2,3, c =0,1,2,3， b+c 模 6 與 0,1,2,3,4,5 同餘，分別出現 2,2,3,4,3,2 次

故百位數 b 與十位數 c 之和，模 6 的可能：
b+c 模 6 與 0,1,2,3,4,5 同餘，分別出現 16,16,17,18,17,16 次

因個位數為偶數，故 b+c 為奇數時必須搭配千位數 1， b+c 為偶數時必須搭配千位數 0
將千位數記為 a, 故 a+b+c 模 6 與 0,2,4 同餘，分別出現 32,33,35, 次

a+b+c0 (mod 6) 時，個位數為 0 或 6
a+b+c2 (mod 6) 時，個位數為 4
a+b+c4 (mod 6) 時，個位數為 2 或 8
其中 0000 非正整數。

綜合以上，所求 =2+322+33+352−1=168

第12題，我一開做的時候，基本上和鋼琴老師的過程一樣
但想到先前提問時，說分了 31 組，我就不想繼續分類。
然後花了一些時間，才有反過來，用 b+c 來分類的作法

再看一下，重新改寫成生成函數的寫法

將四位數 abcd 與 xaxbxcxd 的形式對應

因此小於 2000的非負整數情況，可以用生成函數
f(x)=(1+x)(1+x+2++x9)(1+x+x2++x9)(1+x2+x4+x6+x8)
的展開式中，係數表示 a+b+c+d 之和為冪次的情況數

f(x)=(1+x+2++x9)3
令 =cos60+isin60
則所求為 61f(1)+f()+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)−1+2 
其中，減 1 為 0000 不合，加 2 為 2004、2022

所求 =61103+(+2)3+13+0+13+(4+5)3+1 
=611000+1+1+1=168 
其中 4+5=−(+2)，因此 (4+5)3+(+2)3=0