附件是記憶中的題目
有些敘述不太完整，有的數字可能不對，

或是寸絲的中文不好，言不及意

還請各位幫忙指正，謝謝~~

感謝 lianger 幫忙修正題意和題號

請諸位慢慢享用

lianger 是對的，小弟也算出同樣的 x

幾何解法，
取 (x−5)2+y2=42 的上半圓和 (x−34)2+(y−335)2=302  下半圓

兩半圓外切，而兩根號，可視為 半圓上的點至圓心的 y 分量，如圖 BD,  AC 之和

因此兩大值為兩圓心 y 坐標之差 335 , 其發生位置，其可由分點公式算出 x=17143

101panchiao.gif (496.76 KB)

2012-5-20 12:43

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-20 12:45 PM 編輯 ]

感謝 sweeta 和 brace 兩位提供訊息

第 9 題 brace 的數字應該才是對的

而第 8 題，個人的印象是有 6 偶數...但 66 的話不就和最後一題一樣??這樣應該會有印象才是?

印象中第 8 題算出 90xxxx。 不知道，諸位對此數字是否有印象，也可能是小弟算錯

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-21 09:50 PM 編輯 ]

應該是吧...昨天晚上也有人問寸絲

題目好像是 3an+1=a2n+3an，問的是 1an+3 的和之類的

手法一模一樣...昨天問小弟的那位，應該想撞牆了...

是兩人，而非兩票

我的敘述可能不太好，不知道哪位願意幫忙修一下

6 (2) 這樣寫會有重覆
OOX 13*OXX 13*XOX 13*XXO 這組和 XOO 14*OXX 13XOX 12*XXO 總得票數都是 14,14,13

6 (3) 想法相同

等等再來想 6 (2)

前面的作法相同..

但後面的討論似乎有點問題： n 奇數是，實際上 x=−1 有可能是單根

如 n=3 方程式為 3x+3=0 顯然是單根

應令 g(x)=xf(x)=(x+1)n−xn−1, 則有 g'(x) = n(x+1)^{n-1} + nx^{n-1}

0 不為 f(x) =0 之根，因此 x=a 為 f(x) = 0 之重根若且唯若 x=a 為 g(x) =0 之重根

若且唯若 g(a)=g'(a) = 0 ，若且唯若 0 = g(a) - \frac an g'(a) = (a+1)^{n-1}-1 且 0 = g'(a) =n(a+1)^{n-1} - na^{n-1}

若且唯若 x=a 為 (x+1)^{n-1} =x^{n-1} =1 的解。

在複數平面上畫兩圓 |x+1|=|x| =1 ，其交點為 x= -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt 3}{2}

因此，有重根若且為若 (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1 或   ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1  

即 6 \mid n-1

n = 1 時，原方程式是   0 = 0 算不算重根丫？？？但不影響此題作答

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-23 01:30 PM 編輯 ]

因為過程被小弟抹掉了，不過這個構造有點不直覺，所以可不用太在意

比較好的方法，可以參考 #3 lianger 的做法

回到被抹掉的東西，一開始其實是畫兩個上半圓，圓心都在 x 軸

但是這樣 y 方向的兩線段會有疊在一起的部分，不利於幾何上解釋加法，於是把一個圓改成下半圓

這樣兩個線段就連起來變成一個線段了，在考場裡，寸絲也沒有想那個第二個下半圓的平移

而是採用微分的觀點發現，相求函數之微分，即兩半圓切線斜率相減，所以當切線斜相等時，即極點位置

小弟因此先做出 (2) ，後來再思考，才從切線斜率相同，想到相切，而且半圓可平移，線段不變

所以就它右邊的大半圓往上移動，直至與左邊小圓相切，那從畢氏定理算一算得圓心 y 坐標為 \sqrt{(4+30)^2-(34-5)^2}

以上，囉嗦了半天，沒什麼重點，勿怪

先對 weiye 老師致上敬意

在下算得有一點小差異，一者是行列式展開

另一個是 weiye 老師的 x 極式不小心寫錯了

令 A=\left[\begin{array}{ccccccc} x^{9} & x^{8} & x^{7} & \ldots & \ldots & \ldots & 1\\ 1 & x^{9} & x^{8} & \ldots & \ldots & \ldots & x\\ x & 1 & \ddots & \ddots & \ldots & \ldots & \vdots\\ \vdots & \ldots & \ddots & \ddots & \ddots & \ldots & \vdots\\ \vdots & \ldots & \ldots & \ddots & \ddots & x^{8} & \vdots\\ x^{7} & \ldots & \ldots & \ldots & 1 & x^{9} & x^{8}\\ x^{8} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 1 & x^{9} \end{array}\right] ,  E_{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & \ldots & \ldots & 0\\ -x & 1 & \ddots & \ldots & \vdots\\ 0 & -x & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\ 0 & \ldots & 0 & -x & 1 \end{bmatrix} , E_{1}A=\begin{bmatrix}x^{9} & x^{8} & \ldots & \ldots & 1\\ 1-x^{10} & 0 & \ldots & \ldots & 0\\ 0 & 1-x^{10} & \ddots & \ldots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0\\ 0 & \ldots & 0 & 1-x^{10} & 0 \end{bmatrix}

又 \det E_{1}=1 ，因此 \det A=\det(E_{1}A)=-(1-x^{10})^{9} 。

x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\Rightarrow x^{10}=-\frac{1+\sqrt{3}i}{2} , 1-x=\frac{3+\sqrt{3}i}{2}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}+i}{2}=\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})

因此 \det A=-(1-x^{10})^{9}=81\sqrt{3}i

算到這樣的感覺，要嘛是算錯了，要嘛是寸ㄟ題目記錯了