引用:

原帖由 hughnald 於 2024-5-5 20:06 發表
還有填充題第七題,答案疑似沒有考量0進去,答案應該不是公布的結果

第7題就是8進位，202210=37468
所以3+7+4+6=20。

引用:

原帖由 yymath 於 2024-5-5 22:55 發表
大家好～
這次新北聯招好多題有問題耶～
我整理了有問題的題目為 2，3，5，7題

錯題講解影片連結
https://youtu.be/cjLBy5ZSSOs?si=OB-KCQcbEpbDQvlW

大家還沒有提到的是第三題 如果AB可以是二位數以上 那可以找到更小的分子 ...

第2題可以說符號沒定義好，但第3題A, B都是一個位數，很正常。

第3題分析一下即可，5AB當一個3位數
因為999=3337
所以把999的每個因數代進去測即可，當1115AB，則nm=95，此時m最小是5。
註：3的話是167；9的話是56；27的話是19；37的話是14；111的話是5

證明第一題：
從第一項開始寫，都mod 5
1,3,4,2,1,3,4,2...
四個一循環(第6項跟第2項一樣都是1+3)，所以都不會是5的倍數。

若看成合成，就是在x=−1時，f(4)(x)=x，所以f(113)(2024)=f(2024)=20252023。
若看成微分，就是f(n)(x)=−2(−1)nn!(x+1)−(n+1)，所以f(113)(2024)=20251142113!。
應該是要改成兩個答案都給分

感覺還蠻有趣的題目
設正三角形三頂點為ABC，
因為鉛直移動不影響邊長與投影，所以可以當C點在xy平面上，設A點的z坐標為a，B點的z坐標為b，
利用畢氏定理得a2+32=b2+12=(a−b)2+4
解得(ab)=(2−1)或(−21)，兩者求出原正三角形邊長皆為13 。

先用柯西，發現critical point在(a,b,c)=(41/22, 31/22, -23/22)，不在範圍內，所以極值發生在boundary上。
而題目的又說a,b,c都正，是一個open的區域，所以沒有boundary，因此最大值不存在。
答案應該改成不存在。


我猜是出題老師筆誤，以下三個改法：
1. 改為a,b,c皆為實數，那答案就是柯西那個critical point，其值為11 。
(感覺不是本意，否則不用寫自然就是實數，而且只用柯西，太簡單了點)
2. 改為a,b,c皆為非負實數，那答案就在boundary上，
分成x=0或y=0或z=0下去討論，就變雙變數而已，極值發生在x=4/3, y=1/2, z=0的地方，
其值為611+12+23 
(應該是本意，只是答案有點醜。)
3. 「最大值」改為「最小上界」，答案跟上面一樣。

引用:

原帖由 ingibitor0606 於 2024-5-6 00:32 發表
請問4，9，10謝謝

第4題也是慢慢討論，
若前19箱的球數是0,0,0,1,1,1,2,2,2,…,5,5,5,6，第20箱的球數6顆以上(總球數57以上)，則就沒有4箱一樣多，
因此只要證明56顆可以即可，用反證法
每種球數最多只能3箱，20箱最少也要0+0+0+1+1+1+2+2+2+⋯+5+5+5+6+6=57以上，
所以n=56時，必有4箱球數一樣多。所以答案為56。

引用:

原帖由 ingibitor0606 於 2024-5-6 00:32 發表
請問4，9，10謝謝

這應該…有出過吧…

設正面機率為p，反面為1−p，
設an為連續丟n正面的次數期望值，則an=p(an−1+1)+(1−p)(an−1+1+an)
所以a_n=(1/p)(a_{n-1}+1)。
以這題來說
a_1=2(幾何分配，次數期望值為\frac1p)，a_2=2(2+1)=6，a_3=2(6+1)=14，再下去就是30, 62, 126, \dots

引用:

原帖由 ingibitor0606 於 2024-5-6 00:32 發表
請問4，9，10謝謝

也是柯西
1=[p^2+(1-p^2)]\times[q^2+(1-q^2)]\geq(\sqrt{p^2}\sqrt{q^2}+\sqrt{1-p^2}\sqrt{1-q^2})^2
等號成立在p=q=\frac12。

法一、取log後，看成黎曼和，
原式=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n \left(\sum_{k=n+1}^{2n} \ln k-n\ln n\right) = \lim_{n\to\infty}\frac1n \left(\sum_{k=1}^{n} \ln(k+n)-\sum_{k=1}^{n} \ln n\right)=  \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac1n\ln\left(1+\frac kn\right)=\int_0^1\ln(1+x)\,dx=2\ln 2-1=\ln \frac4e
所以答案為\frac4e。

法二、
其實上面這個我湊很久，考試時，比較無惱的應該是用Stirling Approximation
當n\to\infty時，用\ln(n!)=n\ln n-n或用n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n代入即可。
用\ln(n!)=n\ln n-n的話，分子所有的n都會跟分母的n消掉，這種題目一定都這樣，所以改寫成\frac{\ln(n!)}n=\ln n-1，下面我就直接n跟分母除掉，
一樣先取log
原式=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(2(\ln(2n)-1)-(\ln n-1)-\ln n\right)=\frac4e。
所以答案為\frac4e

用n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n代也可以，而且不用先取log，
原式=\dots=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{2}\cdot\left(\frac4e\right)^n\right)^\frac1n=\lim_{n\to\infty} \left(\left(\frac4e\right)^n\right)^\frac1n=\frac4e。