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100全國高中聯招
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發表於 2011-7-5 15:50
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選擇題7
若
n
=
1
+
2
2
!
+
3
3
!
+
+
5
0
5
0!
則
n
除以50的餘數為
(A)
13
(B)
23
(C)
29
(D)
49
[解答]
∵
n
n
!
=
(
n
+
1
)!
−
n
!
∴
n
=
1
+
2
2
!
+
3
3
!
+
+
5
0
5
0!
=
1
+
(
3!
−
2
!)
+
(
4!
−
5
!)
+
+
(
51!
−
5
0!)
=
5
1!
−
1
故可知
n
−
1
(
mod
5
0)
則
n
除以
50
的餘數為
49
綜合題1
x
20
+
1
除以
(
x
2
+
1
)(
x
4
−
4
)
的餘式為
。
[解答]
令
f
(
x
)
=
x
20
+
1
、
g
(
x
)
=
x
10
+
1
，則
f
(
x
)
=
g
(
x
2
)
則
g
(
x
)
=
(
x
+
1
)(
x
2
−
4
)
Q
(
x
)
+
a
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
+
1
)(
x
+
2
)(
x
−
2
)
Q
(
x
)
+
a
x
2
+
b
x
+
c
由餘式定理可知
g
(
−
1)
=
2
a
−
b
+
c
=
2
g
(2)
=
2
10
+
1
4
a
+
2
b
+
c
=
1
025
g
(
−
2)
=
(
−
2
)
10
+
1
4
a
−
2
b
+
c
=
1
025
a
=
3
41
b
=
0
c
=
−
339
故可知
g
(
x
)
=
(
x
+
1
)(
x
2
−
4
)
Q
(
x
)
+
3
41
x
2
−
3
39
∴
f
(
x
)
=
g
(
x
2
)
=
(
x
2
+
1
)(
x
4
−
4
)
Q
(
x
2
)
+
3
41
x
4
−
3
39
故所求餘式為
341
x
4
−
3
39
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