第一題
高三上期末考結束後，大雄想請假在家讀書以全力準備學測，但學校規定「連續三日以上 (含三日)請假需請家長到校證明」，若大雄每天可以自由選擇上學或請假，而且他不想麻煩雄爸到校證明，那大雄本週一到週五出缺席的狀況有　　　種。
[解答]
全-不合(連三)
=2^5-3日請假-4日請假-5日請假
=32-3-4-1
=24
三日000xx x000x xx000
四日不合的00x00免家長來
五日00000

第二題
投擲一枚不均勻的硬幣，已知正面出現的機率是\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，反覆投擲，設數列\(\langle\;a_n\rangle\; \)定義如下：\(a_n=\cases{1，第n次投擲出現正面\cr -1，第n次投擲出現反面}\)，若\(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\)，則事件「\(S_8=2\)」的機率為　　　。
[解答]
S8=a1+...+a8
相當於二正後面三正三反對消
C8-3(1/3)^5(2/3)^3
=448/6561

第三題
若一個正八面體的頂點恰好為一個正立方體各面的中心點(即各面對角線之交點)，設八面體的體積為\(a\)，正立方體的體積為\(b\)，求\(\displaystyle \frac{a}{b}=\)　　　。(以最簡分數表示)
[解答]
令正立方體邊長為1
正八邊形相當於二個金字塔
正八邊形邊長相當於等腰直角三角形之斜邊
腰長=1/2
因此斜邊=根號2/2
正八邊形體積=2*正四面體=2*1/3底面積*高
=2*1/3*1/2*1/2
=1/6
因此a/b=1/6

111.1.5版主補充圖形

4.
設\(\omega\)為方程式\(x^5=i\)的一根，試求\(|\;1-\omega|\;\)的最大值　　　。(請以\(asin\theta\)表示，其中\(a>0\)，\(\theta\)為銳角)
[解答]
X^5=i=cos(pi/2+2kpi)+isin(pi/2+2kpi)
用隸美弗定理k=0,1,2,3,4
角度分別為18.90.162.234.306度
(速解)
一半角度9.45.81.117.153度
原式=2sin一半角度
sin是增函數因此最大值2sin81度
(推導)
用二倍角公式轉換成半角公式
絕對值=根號a平方+b平方
再代換在平方和根號對消
最後解出2sin一半角度

6.
若\(a\)，\(b\)，\(c\)表\(\Delta ABC\)之三邊長，且\(a\)，\(b\)，\(c\)為方程式\(x^3-10x^2+44x-14=0\)的三根，則\(\Delta ABC\)的面積為　　　。
[解答]
根與係數和海龍公式
a+b+c=10
ab+bc+ac=44
abc=14
s=1/2(a+b+c)=5
三角形面積=根號s(s-a)(s-b)(s-c)=9根號5
(PS)詳細的代換就自己試吧

7.
一個凸四邊形\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=6\)，\(\overline{CD}=5\)，且\(\angle ADC=\angle ABC=90^{\circ}\)，則內積\(\vec{BC}\cdot \vec{AD}=\)　　　。
[解答]
相當於圓內接四邊形
AD=5根號3   AC
根據托勒密定理
BD=4+3根號3(二對邊相乘和=對角線相乘)
內積BC*AD=(BD+DC)*AD
答案27+12根號3  我算過一遍沒錯
應該也可以BC*(AB+BD)分解
直角的向量為0

請教9.12.14

感謝大大解答

補充