求 1^2 * C(10,1) * (1/6) * (1/6)^9 + 2^2 * C(10,2) * (1/6)^2 * (1/6)^8 + ... + 10^2 C(10,10) * (1/6)^10 = ?

令X~Bin(10,1/6)
則原式=E(X^2)= Var(X) + (E(X))^2 = 10*(1/6)*(1-1/6) + (10*(1/6))^2 = 25/6

16. 若 \( f(x)=5－6x＋x^2 \)，求滿足 \( f(x)+f(y)\leq 0\) 及 \( f(x)－f(y)\geq 0\)  的 \(P(x, y)\) 所表區域面積 。

答 : \(4\pi\)

整理 \( f(x)+f(y)\leq 0\)  可得 \((x-3)^2+(y-3)^2\leq 8\) ，為一圓心在 \((3,3)\)  且半徑為 \(\sqrt{8}\) 的圓

整理 \( f(x)-f(y)\geq 0\)  可得 \((x-y)(x+y-6)\geq 0\) ，恰為一對相交於 \((3,3)\)  的 \(\frac{1}{4}\)  平面

因此  \(P(x, y)\) 所表區域為兩個半徑為  \(\sqrt{8}\) 的\(\displaystyle \frac{1}{4}\) 圓，面積 \(\displaystyle=2\times \frac{1}{4}\times \pi \times \sqrt{8}^2=4\pi\)

114.7.20補充
已知\(f(x)=x^2+6x+1\)，令符合兩條件\(f(x)+f(y)\le 0\)與\(f(x)-f(y)\le 0\)之點\((x,y)\)所成的集合為\(R\)，則區域\(R\)的面積為　　　。
(114台中二中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3952&page=1#pid26978)