13.在正△內任取一點，向三邊做垂直線段，則此三垂直線段長可作為一△三邊長的機率為?

答 : 41

令正△ABC內一點 P 至 AB 的距離為 hc ，至 BC 的距離為 ha，至 CA 的距離為 hb

則  hahbhc  中任兩段的長度和必須大於第三段的長度

不妨先假設 ha 最大，而且 hahb+hc

考慮其極端狀況，以描述 P 點的可行區域的邊界，亦即 ha=hb+hc 的情況

因為△ABC是正三角形(三邊長相等)，所以此時 △PBC面積是△ABC面積的一半

而得到 P 落在 AB 與 AC 的中點連線

由對稱性，可知 P 落在△ABC三邊的中點連線之中，其面積佔△ABC的 41

所以機率為 41

10.  空間中10個相異平面，最多能將空間分割成幾個區域 ?

答 : 176

採取遞迴想法時，可依序由一維二維三維來看這個問題 :

一維 : n 個點最多可以將一直線分成幾段 (包含射線與線段) ?    以下用 an 表示

則有 a1=2  a2=3a3=4an=an−1+1

而得到 an=n+1n=123


二維 : n 條直線最多可以將一平面分成幾個區域?    以下用 bn 表示

則有 b1=2  b2=4  b3=b2+a2=7  b4=b3+a3  bn=bn−1+an−1

因為每多1條線就可以與前面的  n−1 條線最多交於 n−1 點

而這 n−1 點可以將這條新加上去的直線最多切成 an−1 段，因此多了 an−1 個區域

最後由遞迴關係得到 bn=2n(n+1)+1n=123


三維 : n 個平面最多可以將一空間分成幾個區域(塊)?    以下用 c_n 表示

則有 c_1=2,  c_2=4,  c_3=c_2+b_2=8,  c_4=c_3+b_3,...,  c_n=c_{n-1}+b_{n-1}

因為每多1個平面就可以與前面的  n-1 個平面最多交於 n-1 條線

而這 n-1 條線可以將這個新加上去的平面最多切成 b_{n-1} 個區域，因此多了 b_{n-1} 個區塊

最後由遞迴關係得到 c_n=\frac{n(n^2+5)}{6}+1, n=1,2,3,...


所求即為 c_{10}=176



至於速算法可以畫圖一一對應說明!  (但感覺用遞迴比較嚴謹)