期望值與標準差

Joy091

1^# 大中小發表於 2011-4-18 11:26 顯示全部帖子

已知袋中有r個紅球，N−r個白球，一次取一個(取後不放回)。
若X表示紅球被取完時的取球總次數。
則由weiye的解法可得
P(X=k)=Cr−1k−1Cr−1r−1+Crr−1+

+Cr−1N−1=CrNCr−1k−1

故X的期望值
E(X)=

Nk=rkCrNCr−1k−1=1CrN

Nk=rk(k−1)!(r−1)!(k−r)!=1CrN

Nk=rrCrk=rCrNCr+1k+1=r(r+1N+1)

所以上述問題(r=3

N=7)可以用3+13(7+1)來算
另外，
E(X2)=

Nk=rk2CrNCr−1k−1=1CrN

Nk=r[(k2+k)Cr−1k−1−kCr−1k−1]=CrNr(r+1)Cr+2N+2−rCrNCr+1N+1=(r+1)(r+2)r(N+1)(rN+r+N)
故X的變異數
Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=(r+1)2(r+2)r(N−r)(N+1)

若r=3

N=7，則標準差為

(3+1)2(3+2)3(7−3)(7+1)

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