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原帖由 Superconan 於 2024-4-12 11:56 發表
請問填充3、9

填充3
設\(\Delta ABC\)中，\(\angle BAC=60^{\circ},\overline{AB}=4\sqrt{3},\overline{AC}=2\sqrt{3}\)，\(D\)在\(\overline{BC}\)上，且\(\overline{AD}\)是\(\angle BAC\)的角平分線，若\(P\)是線段\(\overline{AD}\)上的動點，則\((\vec{PB}+2\vec{PC})\cdot \vec{PA}\)的最小值為何？　　　
[解答]
不定坐標的方法

第9題
設\(A(1,\sqrt{3}),B(1,-\sqrt{3})\)為平面上兩定點，動點\(P\)在線段\(\overline{AB}\)上。\(O\)為原點，且\(Q\)在射線\(\vec{OP}\)上，並滿足\(\overline{OP}\cdot \overline{OQ}=4\)。當動點\(P\)由\(A\)沿著線段\(\overline{AB}\)移動到\(B\)時，試求\(Q\)點軌跡圖形的路徑長為何？　　　
[解答]
參考解法

第 10 題
冰果飲料店推出集字活動，凡購買任何一杯飲品，皆能獲得一張集字卡，只要收集「中」、「獎」、「囉」三字，即可免費兌換一杯綠茶。已知集字卡上出現「中」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)、出現「獎」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\) 、出現「囉」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{6}\)。請問成功收集到「中」、「獎」、「囉」三字，所需要購買飲品杯數的期望值為　　　杯。
[解答]
用差比級數，蠻辛苦地做出來

請問 the piano 老師
E(C→A→B) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/2)] = 26/5

可以請你改用上面這個例子解釋 1/(1-1/6) 的意思嗎？
我自己是這麼想，第一次如果不是 C，就不會算在這個情況
所以第一次一定得是 C，才能列在此情況，所以 期望次數是 1

接下來，不能出現 B，不然也不會算在這個情況
所以接下來要考慮的是 可以出現 C 或 A
但是怎麼算這個期望次數會是 1/(1-1/6) ？

最後一步比較簡單，在A出現之後，就是單純出現 B 的期望次數
因為出現 B 的機率是 1/3，期望次數就是 3