你的假設 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+4x+1 很妙
造一個函數 g(x) = 4x +1 使得 g(1) = 5、g(2) = 9、g(3) = 13
但這其實是個特例

利用插值多項式的概念，我也可以造個 h(x) = 5 (x-2)(x-3)(x-4)/(-6) + 9(x-1)(x-3)/(-1) + 13(x-1)(x - 2)/2
而得到 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + h(x)
此時仍可以滿足題目條件……

巧的是，我造的函數仍會有f(7)+f(-3)=1218

我在此提出第一個疑問，如何確定您找的特例可以確保答案正確？

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第二個問題
我利用GeoGebra，令 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+4x+1
計算 f(7) - f(-3)，會得定值
但是 f(7) - (-2) 就不會得定值了
也就是說，這種題目的 "7" 和 "-3" 應該是特別找的
它需要符合什麼樣的性質，才能讓這種題目的求值能成為定值呢？

to weiye：

我知道可以用拉格朗日插值法找最低次的多項式

而我所挑戰的是我也可以用拉格朗日插值法，找三次的多項式，甚至四次、五次、六次、……
(怎麼打分數啊？不會在 mathpro 打分數，請辛苦看一下)

g(x) = 5 * (x-2)(x-3)(x-4)/((1-2)(1-3)(1-4)  +  9 * (x-1)(x-3)(x-40)/((2-1)(2-3)(2-40)) + 13 (x-1)(x-2)(x-400)/((3-1)(3-2)(3-400))

上面的三次多項式會滿足 g(1) =5 、g(2) = 9 、g(3) = 13

則 f(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + g(x) 也會滿足 f(1)=5、f(2)=9、f(3)=13

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to Ellipse:

您的意思下面的講法嗎？
如果題目給 f(a)、f(b)、f(c)，其中 (a+c)/2=b 時
則 f(b+d) + f(b-d) = 定值

也就是說，如果題目給 f(1) = 5、f(2) =9、f(4)=17
我們就找不到 a、b 使得 f(a) + f(b) = 定值了嗎？

了解您的意思了
您的意思是指即使我可以用拉格朗日插值法找到其他g(x) ，使得 g(1)=5 、g(2)=9、g(3)=13
則 g(x) 必為  (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + 4x+1 之型式
所以找到的 f(X) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + g(x)
　　　　　　　= (x-1)(x-2)(X-3)(x-a) + (x-1)(x-2)((x-3)Q(x) + 4x+1
　　　　　　　= (x-1)(x-2)(X-3)[(x-a)+Q(x)] + 4x+1

意即　f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + 4x+1 不是特例，而是通例！

p.s. 分數要怎麼打出來啊？