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多項式的題目,偶數次數的多項式 f(x),求 f(7) + f(-3).

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多項式的題目,偶數次數的多項式 f(x),求 f(7) + f(-3).

設 \( f(x) \) 為領導系數為 1 的四次多項式,已知 \( f(1)=5, f(2)=9, f(3)=13 \),求 \( f(7)+f(-3) \) 之值。

解:


\[ f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + 4x+1,\]

\[
f(7) + f(-3) =\left( 6\cdot 5\cdot 4 (7-a) + 29 \right) + \left( (-4)\cdot (-5) \cdot (-6) (-3-a) + -11 \right)
\]
\[
=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \left((7-a)-(-3-a)\right) + 18 = 1218.
\]

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相同的題目請一併準備

高中數學101 P81
設\( f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \) ,\(a,b,c,d \in Z\),已知\(f(2)=20\),\(f(3)=30\),\(f(1)=10\),則\(f(10)+f(-6)=\)

衛道中學複習考二1~4冊2007
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/ra/RA336.pdf
若\(f(x)\)為領導係數為1的實係數四次多項式,已知\(f(2)=3\),\(f(3)=5\),\(f(4)=7\),試求\(f(-1)+f(7)=\)

TRML1999個人賽
若\(f(x)\)表領導係數為1之四次整係數多項式,而且\(f(1)=5\),\(f(2)=10\),\(f(3)=15\),試求\(f(8)+f(-4)\)之值

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-3-1 10:29 AM 編輯 ]

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你的假設 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+4x+1 很妙
造一個函數 g(x) = 4x +1 使得 g(1) = 5、g(2) = 9、g(3) = 13
但這其實是個特例

利用插值多項式的概念,我也可以造個 h(x) = 5 (x-2)(x-3)(x-4)/(-6) + 9(x-1)(x-3)/(-1) + 13(x-1)(x - 2)/2
而得到 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + h(x)
此時仍可以滿足題目條件……

巧的是,我造的函數仍會有f(7)+f(-3)=1218

我在此提出第一個疑問,如何確定您找的特例可以確保答案正確?

=================================================================================

第二個問題
我利用GeoGebra,令 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+4x+1
計算 f(7) - f(-3),會得定值
但是 f(7) - (-2) 就不會得定值了
也就是說,這種題目的 "7" 和 "-3" 應該是特別找的
它需要符合什麼樣的性質,才能讓這種題目的求值能成為定值呢?

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引用:
原帖由 eggsu1026 於 2012-1-19 12:25 AM 發表
你的假設 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+4x+1 很妙
造一個函數 g(x) = 4x +1 使得 g(1) = 5、g(2) = 9、g(3) = 13
但這其實是個特例

利用插值多項式的概念,我也可以造個 h(x) = 5 (x-2)(x-3)(x-4)/(-6) + 9(x-1)(x- ...
所求的f(7)+f(-3)
7與-3的平均數=2
只要所求的f(x1)+f(x2)
讓(x1+x2)/2=2,則f(x1)+f(x2)會變成定值
因為這樣可以把a消掉
例如可以求
f(-4)+f(8),
f(-5)+f(9),
.....

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-1-19 12:44 AM 編輯 ]

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回復 3# eggsu1026 的帖子

Q:如何確定您找的特例可以確保答案正確?

觀察易知 \(g(x)=4x+1\) 亦滿足 \(g(1)=5,g(2)=9, g(3)=13\)

則 \(f(1)-g(1)=0, f(2)-g(2)=0,f(3)-g(3)=0\)

由因式定理,可知 \(f(x)-g(x)\) 有 \(x-1, x-2,x-3\) 的因式,

且因為四次多項式 \(f(x)\) 的首項係數為 \(1\),\(g(x)\) 為三次式,

所以可以令 \(f(x)-g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a)\Rightarrow f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a)+g(x).\)



註:

如果觀察不到,改利用 Lagrange 插值找出來滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的多項式 \(\displaystyle \frac{5(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}+\frac{9(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}+\frac{13(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}\)

展開後亦會是 \(4x+1\),也就是滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的最低次數的多項式,

不信的話~你也可以把你用牛頓插值法找出來的多項式減去 \((-5/6)\) 倍的 \((x-1)(x-2)(x-3)\) ,以消去三次項係數,

亦會得 \(4x+1\)

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to weiye:

我知道可以用拉格朗日插值法找最低次的多項式

而我所挑戰的是我也可以用拉格朗日插值法,找三次的多項式,甚至四次、五次、六次、……
(怎麼打分數啊?不會在 mathpro 打分數,請辛苦看一下)

g(x) = 5 * (x-2)(x-3)(x-4)/((1-2)(1-3)(1-4)  +  9 * (x-1)(x-3)(x-40)/((2-1)(2-3)(2-40)) + 13 (x-1)(x-2)(x-400)/((3-1)(3-2)(3-400))

上面的三次多項式會滿足 g(1) =5 、g(2) = 9 、g(3) = 13

則 f(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + g(x) 也會滿足 f(1)=5、f(2)=9、f(3)=13

=================================================================================================
to Ellipse:

您的意思下面的講法嗎?
如果題目給 f(a)、f(b)、f(c),其中 (a+c)/2=b 時
則 f(b+d) + f(b-d) = 定值

也就是說,如果題目給 f(1) = 5、f(2) =9、f(4)=17
我們就找不到 a、b 使得 f(a) + f(b) = 定值了嗎?

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回復 6# eggsu1026 的帖子

不知您有沒有發現,您找到的都是

其實通式為 \(4x+1 + (x-1)(x-2)(x-3)\times Q(x)\) 的多項式呢~:)

而 \(4x+1\) 本來就可以隨便換成其他的~像是換成 \(4x+1+10000000(x-1)(x-2)(x-3)\)

然後把通式改寫成 \(4x+1+10000000(x-1)(x-2)(x-3)+ (x-1)(x-2)(x-3)\times Q(x)\) 亦可呀~

並沒有唯一性呀~除非您有要求那個特解具有更多的性質~像是~次方數要最小~

不然其實並沒有唯一性~也可以用觀察而得特解~都可以呀~



另外~而 Lagrange 本來就可以拿來找高次多項式呀~

不太瞭解您的問題點?:)

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了解您的意思了
您的意思是指即使我可以用拉格朗日插值法找到其他g(x) ,使得 g(1)=5 、g(2)=9、g(3)=13
則 g(x) 必為  (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + 4x+1 之型式
所以找到的 f(X) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + g(x)
       = (x-1)(x-2)(X-3)(x-a) + (x-1)(x-2)((x-3)Q(x) + 4x+1
       = (x-1)(x-2)(X-3)[(x-a)+Q(x)] + 4x+1

意即 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + 4x+1 不是特例,而是通例!

p.s. 分數要怎麼打出來啊?

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回復 8# eggsu1026 的帖子

沒錯~ \(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + 4x+1\)

即是在滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的多項式以外~

額外要求的"首項係數為 \(1\) 且為四次多項式"之下的通解。

如果題目只有寫 \(f(x)\) 為滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的多項式,

那我就會寫成 \(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + 4x+1\) 了~(其中 \(Q(x)\) 是 \(x\) 的多項式)


另外,

關於分數的顯示~

可以參考這篇 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=705&page=1#pid1201 最下方的回覆~

在 LaTeX 裡面~分數的語法式 \frac{分子}{分母}

:)

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回復 6# eggsu1026 的帖子

以此題為例,

關於這個題目設計的關鍵點~

或許就是在  \((x-1)(x-2)(x-3)(x-a)\) 這一塊~

當中 \(x-a\) 前面的係數 \((x-1)(x-2)(x-3)\)

1. 當 \(x\) 以 \(2\pm h\) 帶入\((x-1)(x-2)(x-3)\),可以得到異號的兩相反數,

2. 當 \(x\) 以 \(2\pm h\) 帶入\(x-a\),可以得到 \(a\) 前面的係數相同~

因此,題目才會設計成要問 \(f(2+h)+f(2-h)\) ,其中 \(h\) 為某已知數字。



小弟心底偷偷思尋~那可否修改題目~將 f(x) 改為五次呢?

那要怎樣設計題目怎樣的兩數,才能讓 \(f(\mbox{第一數})\pm f(\mbox{第二數})\) 求出定值呢?

似乎做得出來~:P

然後~還是設計成三數呢?

首相係數不為 1 ~改為其他數呢?

可以設計得出來~但如果數字要好看~就要花點心思了!:P

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