選擇8  可以參考老王老師那邊的漂亮解法

選擇9
已知\(\Delta ABC\)中，\(\angle C\)為直角，\(\overline{BC}\)上有一點\(D\)，使得\(\angle CAD=2\angle DAB\)，若\(\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}=\frac{4}{5}\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{CD}}{\overline{BD}}=\)
(A)\(\displaystyle \frac{27}{25}\)　(B)\(\displaystyle \frac{5}{9}\)　(C)\(\displaystyle \frac{19}{17}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)
[解答]
利用tan 的和角公式就可以了
或者利用座標化搭配和角公式硬求
\(\displaystyle tan\angle CAD=\frac{3}{4}=\frac{2tan\angle BAD}{1-tan^2 \angle BAD}\)
可得\(\displaystyle tan\angle BAD=\frac{1}{3}\)
又\(\displaystyle tan\angle BAC=tan3\angle BAD=\frac{3tan\angle BAD-tan^3 \angle BAD}{1-3tan^2 \angle BAD}\)
可知\(\displaystyle tan\angle BAC=\frac{13}{9}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\)
這樣就可以得到結果

綜合7
\(\alpha,\beta\)為兩複數，滿足\(\beta^2-2\alpha \beta+4\alpha^2=0\)，且\(|\;\alpha-\beta|\;=2\sqrt{3}\)，若\(\alpha,\beta\)在複數平面上所代表的點為\(A,B\)，而\(O\)是複數平面的原點，則\(\Delta OAB\)的面積為　　　。
[提示]
先去算 \( \alpha 與 \beta \)的長度關係  與  夾角
然後利用 \(|\alpha - \beta |=2 \sqrt{3}可知道 \alpha 與 \beta 的距離\)
利用這兩點  可以得到 \( | \alpha |\)  就可以算面積

選擇10.
若\(\displaystyle \omega=cos40^{\circ}+isin40^{\circ}\)其中\(i=\sqrt{-1}\)，則\(|\;\omega+2\omega^2+3\omega^3+\ldots+9\omega^3|\;^{-1}=\)
(A)\(\displaystyle \frac{1}{9}sin40^{\circ}\)　(B)\(\displaystyle \frac{2}{9}sin20^{\circ}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{9}cos40^{\circ}\)　(D)\(\displaystyle \frac{1}{18}cos20^{\circ}\)
[解答]
\(S=w+2w^2+3w^3+.....+9w^9\)
\(wS=        w^2+2w^3+.....+8w^9+9w^{10}\)
相減
\((1-w)S=w+w^2+w^3+.....+w^9-9w^{10}\)
剩下取絕對值化簡就可以做出來了

引用:

原帖由 gamaisme 於 2011-6-29 07:04 PM 發表
設 X = u+v ，Y = u-v 帶入就可看出極值
又或者用轉軸方程式將它轉成橢圓一般式也可以看出極值

設\(x,y\)為實數，且滿足\( x^2+xy+y^2=6 \)，若\( x^2+y^2 \)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，試求\(M+m=\)？
(A)10　(B)12　(C)14　(D)16
[解答]
提供這題另外一種想法
假設\( x=r \cos{\theta}          y=r \sin{\theta}\)
\(x^2+y^2=r^2\)  求其極值  代入前面的式子整理
\( r^2+r^2 \cos{\theta} \sin{\theta} =6\)
\(\displaystyle{r^2=\frac{6}{1+\cos{\theta} \sin{\theta}}}\)
當\(\displaystyle{\cos{\theta} \sin{\theta}= - \frac{1}{2}}\)有Max12
當\(\displaystyle{\cos{\theta} \sin{\theta}=  \frac{1}{2}}\)有Max 4

多謝橢圓兄
小弟計算錯了  囧