引用:

原帖由 zerogil159 於 2022-4-24 11:53 發表
填充4
應該能整理成2x^2-x^(1/2)=2(sinx)^2-(sinx)^(1/2)
由於y=2x^2-x^(1/2)嚴格遞增
解應該發生於x=sinx
此時x=0
故實根應只有一個
想請問各位老師，我的過程是否有誤？ ...

我覺得答案可能給錯了~應該只有一個實數解
1+√ (sinx)-√ x =cos(2x)+2x²  ,
整理成2[(sinx)²-x²]+(√ (sinx)-√ x )=0
(√ (sinx)-√ x) [2√ (sinx)+2√ x+1]=0
√ (sinx)-√ x=0 =>sinx=x-------(*)
∵0≦x≦π,畫圖可知僅當x=0時
符合(*)的解  ∴所求只有一個實數解

填13
三角形ABC中，三線段AD、BE、CF有一個共同交點O，若OD=OE=OF=4且OA+OB+OC=37，請求出OAOBOC之值　　　。
[解答]
依面積特性可知OD/AD+OE/BE+OF/CF=1
依題意知OD=OE=OF=4 ,令x=AO,y=BO,z=CO
得1/(x+4) +1/(y+4)+1/(z+4)=1/4------(1)
且依題意知AO+BO+CO=x+y+z=37-------(2)
令X=x+4,Y=y+4,Z=z+4-------(3)
由(2)&(3)得 X+Y+Z=37+12=49------(4)
由(1)&(3)得4(XY+YZ+ZX)=XYZ
假設a=XY+YZ+ZX,則XYZ=4a--------(5)
由(4)&(5)可設t=X,Y,Z為t^3-49t²+at-4a=0的解
又t^3-49t²+at-4a=(t-X)(t-Y)(t-Z)--------(6)
將t=4代入(6)得4^3-49*16+4a-4a= -(X-4)(Y-4)(Z-4) = -xyz= -720
所求=AO*BO*CO=xyz=720

引用:

原帖由 Joanna 於 2022-4-29 13:43 發表
想請問一下9、10題，謝謝

#10
設−1=i 且複數z和w滿足z=3及等式zw+21wi=3i−21wi+z，其中w為w的共軛複數。令w−21的最大值為M、最小值為m，求數對(Mm)=　　　。
[解答]
z*w+(1/2)w*i=3i-(1/2)ŵ*i +z    (ŵ表示w bar)
z(w-1)=i [ 3-1/2(ŵ+w) ]    (令w=x+y*i)
3* √[(x-1)² +y²] = |3- x|
整理得(x-3/4)² / (9/16) + y² /(1/2)=1
w所形成圖形為一個橢圓Γ,中心(3/4,0)
令a² =9/16 ,b²=1/2 ,c² =a²-b²=9/16-1/2 =1/16
a=3/4 ,c=1/4,所以Γ的其中一個焦點為F1(3/4-1/4,0)=(1/2,0)
則所求|w-1/2|的
最大值M=a+c=3/4+1/4=1
最小值m=a-c=3/4-1/4=1/2
數對(M,m)=(1,1/2)