引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-4 12:04 AM 發表
填12. 是 225  沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的

提供一個暴力解，令 BC=aAC=b，則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2} ...

斜率暗藏玄機~這題下面解釋只差AC是垂直線,BC是水平線的證明(留給網友證)
參考如附件的圖~
考填充題可以大膽一點,先畫正常的圖(AC是垂直線,BC是水平線)
再根據題目給的資料
假設AD的斜率為m1,則m1=-2,
可知AC/CD=2/1 ,令AC=2t,CD=t (t>0) --------(1)
假設BE的斜率為m2,則m2=-(1/2)
可知EC/CB=1/2 ,令EC=k,CB=2k (k>0)--------(2)
由(1)&(2)及E,D分別為AC,CB中點知
AC=2EC ,2t=2(k) ,則t=k
所以AC=CB為等腰直角三角形(角C=90度)
剩下就簡單了~

註: 在所有的等腰直角三角形ABC(角C=90度)
     當AC是垂直線,BC是水平線
    則中線AD的斜率皆為 -2
     中線BE的斜率皆為-1/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-4 10:50 AM 編輯 ]

再整理一下填充12所用的性質
Lemma:
在坐標平面上,若三角形ABC的角C為直角
且中線AD的斜率為-2,中線BE的斜率為-1/2
<=>
AC=BC,且AC是垂直線,BC是水平線

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-12 08:52 AM 發表
鋼琴老師好漂亮的證法~受教了

帥!鋼琴兄的神解~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:30 PM 編輯 ]

幫忙打字,節省論壇空間
Q：試證a3(a−b)(a−c)+b3(b−c)(b−a)+c3(c−a)(c−b)=a+b+c
pf：Lemma
a(a−b)(a−c)+b(b−c)(b−a)+c(c−a)(c−b)=0－－①

a2(a−b)(a−c)+b2(b−c)(b−a)+c2(c−a)(c−b)=1－－②

設所求為k－－③，令x=1(a−b)(a−c)，y=1(b−c)(b−a)，z=1(c−a)(c−b)－－④

可列出聯立方程組ax+by+cz=0a2x+b2y+c2z=1a3x+b3y+c3z=k
∴= aa2a3bb2b3cc2c3 =abc(a−b)(b−c)(c−a)

x=abc(a−b)(b−c)(c−a)1(a−b)(a−c)=−abc(b−c)－－⑤

又x= 01kbb2b3cc2c3 =bc(b−c)(b+c−k)－－⑥
比較⑤& ⑥　∴b+c−k=−a，k=a+b+c

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:40 PM 編輯 ]

bugmens兄,不好意思麻煩您了~
有空再來學LATEX的語法
對了,在用電腦看時
怎有時候相鄰兩列會疊在一起?
有時字會有大有小?