100麗山高中第二次

填充2.
有一撞球臺如右圖所示，曲線部分Γ是一個拋物線，若AB與Γ的軸垂直，AB=20，今小明自P處將球平行Γ之軸向Q，經反彈到R，最後再反彈到S，若AP=2，BS=8，則拋物線Γ的焦距為　　　。
[解答]
不妨設坐標, 原點在頂點, x 軸在對稱軸上, 拋物線開口向右
拋物線方程式可設為 y2=4cx, 焦點 (c0).
又 AB=20, AP=2, BS=8, 故 P, Q 兩點的 y 坐標為 8; R, S 兩點的 y 坐標為 −2.
由光學性質可知, PQ 通過焦點, 可設直線方程式為 y=m(x−c)
將 y2=4cx 與 y=m(x−c) 聯立消去 x, 可得 y2−m4cy−4c2=0
且此方程式兩根為 8 與 −2
故兩根之積 −16=−4c2, 可得 c=2.


填充3.
函數f(x)=(sinx+cosx)^3+(sinx+cosx)^2-(sinx+cosx)+2的最大值為M，最小值為m，則數對(M,m)-　　　。
[解答]
設 t=\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x+45^\circ) , 故 -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}.
令 g(t) = t^3 + t^2 - t +2 ,
可利用微分找出 g(t) 在 [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] 之間的最大最小值.


填充4.
求： \displaystyle 1 \times \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)
\displaystyle +3 \times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)
\displaystyle +5\times \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)+\ldots+
\displaystyle +197 \times \left(\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)+199 \times \frac{1}{100} 的值為　　　。
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[解答]
原式重新整理可得
\displaystyle \frac{1}{1} + \frac{1+3}{2} + \frac{1+3+5}{3} + \frac{1+3+5+7}{4} + \cdots + \frac{1+3+\cdots+199}{100}
\displaystyle =\frac{1^2}{1} + \frac{2^2}{2} +\frac{3^2}{3} + \cdots + \frac{100^2}{100}
=1+ 2+ 3+ \cdots + 100=5050