引用:

原帖由 Superconan 於 2025-3-30 22:59 發表
請教填充題11.

設x1、…、x25中，有p個正數a1、…、ap，q個負數b1、…、bq
a21+…+a2p+b21++b2q=1、p＋q25
令K＝a1＋…＋ap＝−(b1＋…＋bq)
原題目即求2K的最大值
由Cauchy-Schwarz Inequality知
(ai平方和)．pK2，即(ai平方和) pK2
(bj平方和)．qK2，即(bj平方和) qK2

兩式相加，得1K2(p1＋q1)
即K2pqp+q
當(pq)=(1213)或(1312)時，2K有最大值為5439 

第1題
設AB=c，AC=b，
令CAD= ，
得tan=tan(−45)=71
因為ABC面積＝ABD面積+ACD面積，
所以52bc=23c+310b
再利用算幾不等式，得bc445
就可得ABC面積的最小值=52445=29

第7題
將cos2=1−2sin2代入，
令x=sin，利用微分，求f(x)=3+x8−2x2在區間[−11]的最大值與最小值
若f(x)=(3+x)2−2x2−12x−8=0，則x=−35 
比較f(−1)=3，f(1)=23，f(−3+5)=12−45 
故M=12−45 ，m=23

第9題
x2＋y2＋z2＝(x+y+z)2−2(xy+xz+yz)=(x+y+z)2−2xyz(x1+y1+z1)
令x=y=z=r，得xyz=r3=8 ，
x\overline{x}=y\overline{y}=z\overline{z}=r^2=2
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{4}(\overline{x}+\overline{y}+\overline{z})=\frac{1}{4}(\overline{x+y+z})=-\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{5}}{4}i
所以，x^2+y^2+z^2=(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{5}i)^2-2\times (\sqrt{3}+\sqrt{5}i) \times (-\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{5}}{4}i)=\frac{9}{4}+\frac{\sqrt{15}}{2}i
x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=\frac{1}{2}Im(x^2+y^2+z^2)=\frac{\sqrt{15}}{4}

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 22:13 編輯 ]

填充第2題
由三邊長可得，\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=5
因為\displaystyle\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}
所以\displaystyle\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OA}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{OA}|^2+\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})=\frac{7}{4}+\frac{5}{4}=3
又P、D、Q在直線L上，且直線L垂直直線OA
所以\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OA}=3
故\displaystyle m=\frac{3}{|\overrightarrow{OA}|^2}=\frac{3}{7}，\displaystyle n=\frac{3}{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}=\frac{3}{5}

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-1 21:45 編輯 ]

引用:

原帖由 joiuk123 於 2025-4-2 15:20 發表
想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。

計算第2題第(2)小題
當a=0時，A=B={1}，所以後續僅討論a\neq 0的情形。
首先，求A\neq \phi 的a值限制
A=\{x | f(x)=x\}=\{x | ax^2-x+1=0\}
判別式=(-1)^2-4a\geq 0，得a\leq \frac{1}{4}

其次，求A=B的a值限制
B=\{x | f(f(x))=x\}=\{x|(ax^2-x+1)(a^2x^2+ax+a+1)=0\}
依a^2x^2+ax+a+1=0的解情形分類討論：
(1)a^2x^2+ax+a+1=0有兩相異實根，
　此時係數與ax^2-x+1=0成比例，檢查知a無解
(2)a^2x^2+ax+a+1=0有兩相等實根
　判別式=a^2-4a^2(a+1)＝0，得a=-\frac{3}{4}  (代入檢驗符合)
(3)a^2x^2+ax+a+1=0無實數解
　判別式=a^2-4a^2(a+1)<0，得a> -\frac{3}{4}
故a值的範圍為[-\frac{3}{4} ,\frac{1}{4}]

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-2 20:46 編輯 ]

引用:

原帖由 joiuk123 於 2025-4-3 00:21 發表
謝謝老師的回答，文中的B集合老師是怎麼整理的呢？以下是我剛剛想到的作法（目的是為了湊出A集合內的樣子）

因為第(1)小題知，f(x)-x為f(f(x))-x的因式，所以直接用多項式除法，把f(f(x))-x除以f(x)-x。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 10:35 編輯 ]

引用:

原帖由 joiuk123 於 2025-4-2 15:20 發表
想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。

計算第1題
第(1)題
分別以遞迴關係式化簡左右式
a_{n+2}-a_{n+1}=(\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2)-a_{n+1}=-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2-a_{n+1}+\frac{5}{8}
-b_{n}(a_{n+1}-a_{n}) =-\frac{1}{2}(a_{n+1}+a_{n})(a_{n+1}-a_{n})
　　=-\frac{1}{2}((a_{n+1})^2-(a_{n})^2) =-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2+\frac{1}{2}(a_{n})^2
　　=-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2+(\frac{5}{8}-a_{n+1}) =-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2-a_{n+1}+\frac{5}{8}

第(2)題
檢查n=1，0<a_{1}<\frac{5}{8}成立
設n=k成立，即0<a_{k}<\frac{5}{8}
化簡，得\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(\frac{5}{8})^2<\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{k})^2<\frac{5}{8}-0^2
即0<\frac{55}{128}<a_{k+1}<\frac{5}{8}
所以n=k+1成立
由數學歸納法得證

第(3)題
因為a_{n+1}-a_{n} =\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n})^2-a_{n} =-\frac{1}{2}(a_{n}-\frac{1}{2})(a_{n}+\frac{5}{2})
又由(2)知，\frac{5}{2}<a_{n}+\frac{5}{2}<\frac{25}{8}
所以\frac{5}{4}|a_{n}-\frac{1}{2}|<|a_{n+1}-a_{n}|<\frac{25}{16}|a_{n}-\frac{1}{2}|
故|a_{n}-\frac{1}{2}|<|a_{n+1}-a_{n}|


第(4)題
因為a_{n+1}-\frac{1}{2} =\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n})^2-\frac{1}{2} =-\frac{1}{2}(a_{n}-\frac{1}{2})(a_{n}+\frac{1}{2})
又由(2)知，\frac{1}{2}<a_{n}+\frac{1}{2}<\frac{9}{8}
所以|a_{n+1}-\frac{1}{2}|<\frac{9}{16}|a_{n}-\frac{1}{2}|
故|a_{n}-\frac{1}{2}|會收斂到0，即a_{n}收斂到\frac{1}{2}


若有疏漏、誤植，再請提醒指正。感謝

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 09:24 編輯 ]

引用:

原帖由 Superman 於 2025-4-3 13:36 發表
請問第9題
如果把已知條件當中的
|x|=|y|=|z|
換成是x^2+y^2+z^2=9/4+sqrt(15)/2*i，
有辦法搭配另外兩個條件證明 |x|=|y|=|z| 嗎？

我覺得應該是可以的，只要x+y+z、xy+xz+yz、xyz三項的值相同，
就代表x、y、z為同一個三次多項式方程式的根。
只不過，是直接求出三根後觀察相等，或有其他方式就要再研究。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 15:23 編輯 ]

引用:

原帖由 peter0210 於 2025-4-3 16:21 發表
Jimmy92888 老師
填充9 的 r 應該是根號2

引用:

原帖由 joiuk123 於 2025-4-3 17:03 發表
老師，您的第一題應該是想打 AC=b,AB=c ，面積那邊ACD面積是 3b/10 。

感謝提醒。

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-4-4 02:39 發表
請問老師如何知道 (p,q) = (12,13) 或 (13,12) 時，2K有最大值？

直觀的說，因為算幾不等式，等號成立時p=q=12.5不合，因此找最接近的整數點。
若要證明，可能會以p+q=m，先說明m與K的關係，再依m的奇偶性進行討論。
底下試著寫看看，若有疏漏或不嚴謹，再請指正。

令p+q=m，求\frac{pq}{p+q}=\frac{pq}{m}的範圍
(1)\frac{pq}{p+q}=\frac{pq}{m}=-\frac{1}{m}p^2+p=-\frac{1}{m}(p-\frac{m}{2})^2+\frac{m}{4}\leq \frac{m}{4}
(2)當m=2n，則p=n時，\frac{pq}{p+q}有最大值為\frac{n}{2}
　當m=2n+1，則p=n或n+1時，\frac{pq}{p+q}有最大值為\frac{n(n+1)}{2n+1}
　因此，當m=25時，(p,q)=(12,13)或(13,12)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-4 11:47 編輯 ]