114建國中學

請教填充題11.

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-3-30 22:59 發表
請教填充題11.

設x1、…、x25中，有p個正數a1、…、ap，q個負數b1、…、bq
a21+…+a2p+b21++b2q=1、p＋q25
令K＝a1＋…＋ap＝−(b1＋…＋bq)
原題目即求2K的最大值
由Cauchy-Schwarz Inequality知
(ai平方和)．pK2，即(ai平方和) pK2
(bj平方和)．qK2，即(bj平方和) qK2

兩式相加，得1K2(p1＋q1)
即K2pqp+q
當(pq)=(1213)或(1312)時，2K有最大值為5439 

114.4.1版主補充
將官方題目移到第一篇

請問老師1，7，9

第1題
設AB=c，AC=b，
令CAD= ，
得tan=tan(−45)=71
因為ABC面積＝ABD面積+ACD面積，
所以52bc=23c+310b
再利用算幾不等式，得bc445
就可得ABC面積的最小值=52445=29

第7題
將cos2=1−2sin2代入，
令x=sin，利用微分，求f(x)=3+x8−2x2在區間[−11]的最大值與最小值
若f(x)=(3+x)2−2x2−12x−8=0，則x=−35 
比較f(−1)=3，f(1)=23，f(−3+5)=12−45 
故M=12−45 ，m=23

第9題
x2＋y2＋z2＝(x+y+z)2−2(xy+xz+yz)=(x+y+z)2−2xyz(x1+y1+z1)
令x=y=z=r，得xyz=r3=8 ，
xx=yy=zz=r2=2
x1+y1+z1=41(x+y+z)=41(x+y+z)=−83+45i 
所以，x2+y2+z2=(−23+5i)2−2(3+5i)(−83+45i)=49+215i 
x1x2+y1y2+z1z2=21Im(x2+y2+z2)=415 

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 22:13 編輯 ]

請教填充第 2 題

填充第2題
由三邊長可得，\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=5
因為\displaystyle\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}
所以\displaystyle\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OA}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{OA}|^2+\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})=\frac{7}{4}+\frac{5}{4}=3
又P、D、Q在直線L上，且直線L垂直直線OA
所以\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OA}=3
故\displaystyle m=\frac{3}{|\overrightarrow{OA}|^2}=\frac{3}{7}，\displaystyle n=\frac{3}{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}=\frac{3}{5}

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-1 21:45 編輯 ]

填充5

想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。