第8題
移項化簡，得
\(kx-(5\ln x+x^2-8x+a)\geq 0\)
令\(h(k)=kx-(5\ln x+x^2-8x+a)\)
對任一\(x\in(0,4]\)，對\(k\)而言，\(h(k)\)皆為斜率為正的直線
所以\(h(k)\)的最小值必發生在\(k=-1\)處
因此，僅需考慮對所有\(x\in(0,4]\)，\(-x^2+7x-5\ln x\geq a\)恆成立

令\(f(x)=-x^2+7x-5\ln x\)
透過微分，可知在\((0,4]\)，\(f(x)\)的最小值為\(f(4)=12-5\ln 4\)
故\(a\)的最大值為\(f(4)=12-10\ln 2\)

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計算二
令\(H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}\)
=>  \(H=(1+\frac{1}{(p-1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2})+...=\frac{p}{1(p-1)}+\frac{p}{2(p-2)}+...\)
經過通分，分子可提出p，分母為1、2、…、p-1的乘積
所以，可寫成H\(=p \cdot \frac{A}{B}\)，其中B必不被p整除

化簡，得\(\frac{n^3}{(n-1)(n-2)}=n+3-\frac{1}{n-1}+\frac{8}{n-2}\)
分別處理三個區塊的和
令S1=(n+3)從n=3到n=p-1的和\(=\frac{p^2+5p-24}{2}\)
　S2=1/(n-1)從n=3到n=p-1的和\(=H-1-\frac{1}{p-1}\)
　S3=1/(n-2)從n=3到n=p-1的和\(=H-\frac{1}{p-2}-\frac{1}{p-1}\)
令S=S1-S2+8*S3
=> S\(=\frac{p^2+5p-24}{2}+7H+ 1 - \frac{7}{p-1} - \frac{8}{p-2}\)
考慮尚無法提出p的部分，通分後分子恰可消去常數，如下
\(-12+1-\frac{7}{p-1}-\frac{8}{p-2}=-\frac{11p^2-18p}{(p-1)(p-2)}\)
故S\(=\frac{p(p+5)}{2}+7p\cdot \frac{A}{B}-p\cdot \frac{11p-18}{(p-1)(p-2))}\)
通分化簡後，分子可提出p，
而分母為1、2、…、p-1的乘積，必不可與p約分，

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