引用:

原帖由 老王 於 2011-5-15 11:25 PM 發表
計算證明二
(1)
顯然所有an在(0,1)之間
a3n+1+an+1n+1=1
a3n+nan=1
兩式相減...

(1)我會用圖解來證

考慮
y=x3−1與y=−xn的交點的x坐標an
由圖知只有唯一一個交點, 且0an1
當n增加, 直線斜率−n1遞增, 與y=x3−1的交點x坐標an就遞增

引用:

原帖由 hua77825 於 2011-5-17 12:25 AM 發表
可否請問一下各位老師們第7  14  15

感謝；)

7.
一袋中有5個球，分別寫上1、2、3、4、5號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續n次，若Pn表紀錄到n次時數字和為偶數的機率，則n=1(21−Pn)= 　　　。
[解答]
先看出遞迴關係
P(n+1)=(2/5)P(n)+(3/5)[1-p(n)]
=> P(n+1)=(-1/5)P(n)+3/5
=> P(n+1)-1/2=(-1/5)[P(n)-1/2]
即< P(n)-1/2>為首項P(1)-1/2=2/5-1/2=-1/10, 公比-1/5的等比數列
原式= -Σ(n=1 to ∞) [p(n)-1/2]
=-(-1/10)/[1-(-1/5)]
=1/12

14.
如下圖(圖形中各線段之比例僅供參考，實際之比例敘述如後)，
設DBAD=31且ECBE=21且2AF=1FG=2GC，若BH=BA+BC，則實數對()=　　　。
[解答]
我的解法稍麻煩了些
以下BA表示向量BA, 餘類推
BH=αBA+βBC
設FH=tDF, GH=sEG, s,t為實數
BH=BF+FH
=(3/5)BA+(2/5)BC+t(BF-BD)
=(3/5)BA+(2/5)BC+t[(3/5)BA+(2/5)BC-(3/4)BA]
=[(12-3t)/20]BA+[(2+2t)/5]BC...(1)
又
BH=BG+GH
=(2/5)BA+(3/5)BC+s(BG-BE)
=(2/5)BA+(3/5)BC+s[(2/5)BA+(3/5)BC-(1/3)BC)]
=[(2+2s)/5]BA+[(9+4s)/15]BC...(2)
由(1)(2)知α=(12-3t)/20=(2+2s)/5, β=(2+2t)/5=(9+4s)/15
解得s=1/4, t=2/3(t可不解)
=> (α,β)=(1/2, 2/3)

15.
將一矩形（邊長均為整數）的角剪去一個三角形後形成一個新的五邊形，今知此五邊形之邊長為13,19,20,25,31（不一定照順序成五邊形），試問此五邊形之面積為　　　。
[解答]
就一個長31, 寬25的矩形
在一角截去兩股為12(長的方向), 5(寬的方向)的直角三角形
則得五邊形五邊為31,25,19,13,20
即得五邊形面積=31*25-(1/2)*12*5=745

112.8.23補充
A pentagon is formed by cutting a triangular corner from a rectangular piece of paper. The five sides of the pentagon have lengths 13, 19, 20, 25 and 31, although this is not necessarily their order around the pentagon. The area of the pentagon is
(A)459　(B)600　(C)680　(D)720　(E)745
(1995AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_22)