第六題
6.
若\(z+2i\)、\(z-2i\)的主幅角依次為\(50^{\circ}\)、\(320^{\circ}\)且\(|\;z+2i|\;=|\;z-2i|\;=1\)，則\(|\;z|\;=\) (送分)
[解答]
\(\displaystyle z+2i=cos50^\circ+isin50^\circ \)
\(\displaystyle z-2i=cos320^\circ+isin320^\circ \)
兩式相減得到\( \displaystyle 4i=i(sin50^\circ-sin320^\circ) \)
這不可能
第十二題
在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，其球心距為13。今有一平面與這兩球面相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則這個橢圓的長軸與短軸長之和為
[解答]
這需要一點圓錐截痕的觀念
平面和兩球面的切點是橢圓的兩焦點(當然，說是球心在平面的投影也沒錯，只是這樣離證明就遠了)
長軸長是兩球面的外公切線段長，在此就是兩球心距=13
短軸長顯然是圓柱的直徑=12
第十三題
在\(\Delta ABC\)中，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)。若\(\angle A\)，\(\angle B\)，\(\angle C\)的大小成等比數列，且\(b^2-a^2=ac\)，則\(\angle B\)的弧度為
[解答]
關於 \( b^2-a^2=ac \Rightarrow b^2=a(a+c) \) 這個條件的充要條件為 \( \angle B=2\angle C \) 這要記住有這麼回事
於是\( \angle A=2\angle B=4\angle C \)
得到\( \displaystyle \angle B=\frac{2\pi}{7} \)
第十五題
設\(1<x<4\)且\(x\ne 2\)、\(x\ne 3\)，令\(\displaystyle y=\frac{2}{(x-1)(2-x)}+\frac{2}{(x-2)(3-x)}+\frac{2}{(x-3)(4-x)}\)，當\(y\)有最小整數值時，則其對應的\(x\)之值為
[解答]
沒啥好想法，通分吧
\( \displaystyle y=\frac{2}{(x-1)(2-x)}+\frac{2}{(x-2)(3-x)}+\frac{2}{(x-3)(4-x)}
=\frac{-4}{(x-1)(x-3)}+\frac{2}{(x-3)(x-4)}
=\frac{-6}{(x-1)(x-4)} \)
於是有\( \displaystyle y(x^2-5x+4)+6=0 \)
令\( \displaystyle f(x)=y(x^2-5x+4)+6=y(x-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4} y+6 \)
可以發現\( f(1)=f(4)=6>0 \)
所以只要頂點y坐標\( \displaystyle -\frac{9}{4} y+6 \le 0 \)就好
\( \displaystyle y\ge \frac{8}{3} \)
當\( y=3 \)時，代入得到\( x=2 or 3 \)，這部分不合；
當\( y=4 \)時，代入得到\( x=\frac{5 \pm \sqrt{3} }{2} \)，皆合，故為答案。
另外，第八題沒說要實數解，是否也該送分??
