第三題
p2+5pq+q2=7101

對p而言是二次方程式，判別式為
25q2−4(q2−7101)=21q2+47101=7(3q2+47100)

若p為整數，那麼判別式必須是完全平方數，因此知道
3q2+47100要是7的倍數
也就可以推出q為7的倍數
那麼p就是7的倍數
假設p=7p1q=7q2
於是得到
p21+5p1q1+q12=799

重覆這些步驟最後得到
P2+5PQ+Q2=7

顯然有P=Q=1
所以
p=q=750

四面體ABCD的體積公式，我覺得這個五階的應該比較好記
288V2=0111110BA2CA2DA21AB20CB2DB2  1AC2BC20DC21  AD2  BD2  CD2  0  

來源:http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html


101.8.1版主補充
游森棚老師所寫的文章，有對稱之美的海龍公式

剛剛花了五分鐘確認，答案的確是423 

試了一下最常見的錯誤類型，果然是126050，我得說問題出在你不會"降階"!!
四階以上行列式的計算可不是像三階一樣!!!!!!!!
這也不能怪你，因為現行高中教材只談二三階，如果老師沒補充，學生就沒學到。
請網路搜尋"行列式降階"，應該可以找到有關四階以上的行列式的計算方式；
或者是翻一下你的線性代數課本，應該也有。

引用:

原帖由 mandy 於 2012-5-5 12:38 PM 發表


謝謝老師!! 我想起來了, 以前高中時, 的確學過, 是太久沒算了, 謝謝老師 !!

我認為如果是用公式五階的行列式計算四面體的體積, 不見得快, 因為降階從五階降到四階, 再從四階降到三階, 計算就很大,
老師認為呢 ? ...

用#40 彬爸文中的符號

BC=aCA=bAB=cDA=DB=DC=

288V2=0111110c2b221c20a221b2a2021  2  2  2  0  
  =000011−2c2−2b2−221c2−2−2a2−221b2−2a2−2−221  2  2  2  0  

=1−2c2−2b2−21c2−2−2a2−21b2−2a2−2−21  2  2  2  

=0−22c2−2−2b2−2−20c2−2−2−22a2−2−20b2−2−2a2−2−2−221  2  2  2  

=−−22c2−2−2b2−2−2c2−2−2−22a2−2−2b2−2−2  a2−2−2  −22  

=222+2−c22+2−b22+2−c2222+2−a22+2−b2  2+2−a2  22  



這就得到 彬爸 所PO的公式。
至於你說的計算難度問題，的確，五階比三階難算得多，
實際運用時，就憑你的記憶和計算能力吧。(感謝寸絲老師~~)

填充14.
空間中，四面體A−BCD，AB=CD=6，AC=AD=BC=5，BD=7，求四面體A−BCD的體積為　　　。
[解答]
"不如歸去"啊~~~~真的，當我看到"科科科"的題目時，也是作如此想。

把四面體展開，反正就是畢氏定理。
如圖，以ABC為底面，將DAB、DAC、DBC打開到同一個平面，
過D1作 AB的垂線，垂足為E；
過D2作 AC的垂線，垂足為F，並與 AB交於G，與 D1E交於H，
那麼H就是原來D點在平面ABC上的投影點。

簡單計算可以得到
\displaystyle D_1E=2\sqrt{24},AE=1,AF=\frac{7}{5}

那麼\displaystyle AG=AF \times \frac{5}{3}=\frac{7}{3}

\displaystyle EG=AG-AE=\frac{4}{3}

\displaystyle EH=EG \times \frac{3}{4}=1

\displaystyle DH^2=D_1E^2-EH^2=23

所以\displaystyle (ABCD)=\frac{1}{3} \times 12 \times \sqrt{23} =4\sqrt{23}