第1題
設an=2n−1，n是正整數，求limn2a1+a2++an(1+2a1)(1+2a2)(1+2a3)(1+2an)=？

a1+a2++an=1+2+4++2n−1=2n−1
(1+2)(1+22)(1+24)(1+22n−1)
=(2−1)(1+2)(1+22)(1+24)(1+22n−1)
=(22−1)(1+22)(1+24)(1+22n−1)
=(24−1)(1+24)(1+28)(1+22n−1)
=22n−1
limn22n−122n−1=2
不知哪裡算錯??

第16題
二數列an、bn具有a1=1,b1=1，且nN，an+1=an−2bnbn+1=an+4bn 。求an=？

由(1) bn=21an−21an+1 代入 (2)　得到
21an+1−21an+2=an+2an−2an+1
an+2−5an+1+6an=0
特徵方程式為 x2−5x+6=0 ，兩根 23
所以假設 an=c12n+c23n
由初始條件 a1=1a2=1−2=−1 代入解得 c1=2c2=−1
所以 an=22n−13n=2n+1−3n

第18題
ABC中，∠B=90，且BC=a,CA=b,AB=c，若xR，恆有 ax^2+bx+c \ge 0 ，求 ∠A 之最大值？

\displaystyle b^2=a^2+c^2
\displaystyle b^2-4ac \le 0
所以 \displaystyle a^2-4ac+c^2 \le 0
令 \displaystyle t=\tan A=\frac{a}{c}
\displaystyle t^2-4t+1 \le 0
\displaystyle 2-\sqrt3 \le t \le 2+\sqrt3
所以 \angle A 最大值為 75^o

第2題
設 a 為整數，若多項式 f(x)=(x-2012)(x-2010)(x-a)-48 有整係數一次因式，試求 a ？

題目是分解好的，不必展開；或是說，展開只要知道最高次項係數為 1 ，所以有整數根；
設為 n ，那麼就是 (n-2010)(n-2012)(n-a)-48=0
(n-2010)(n-2012)(n-a)=48
注意到 (n-2010)-(n-2012)=2 ，去找可能的分解方式就可以求出。


第17題
如右圖設 a>0 ，點 P(3a,a^2) 在Γ： \displaystyle y=\frac{1}{9}x^2 上，點 Q 在 x 軸正向上，且 \overline{OP}=\overline{OQ} ，直線 \overline{PQ} 交 y 軸於 R 點，當 P 沿曲線Γ趨近於原點時，試求點  R 的極限位置坐標為？

沒啥好想法，就硬作
\displaystyle Q(\sqrt{a^4+9a^2},0)
\displaystyle PQ: y-a^2=\frac{a^2}{3a-\sqrt{a^4+9a^2}}(x-3a)=\frac{a}{3-\sqrt{a^2+9}}(x-3a)
\displaystyle R(0,a^2+\frac{3a^2}{\sqrt{a^2+9}-3})
\displaystyle \lim_{a \rightarrow 0} (a^2+\frac{3a^2}{\sqrt{a^2+9}-3})
\displaystyle =\lim_{a \rightarrow 0} (a^2+\frac{3a^2(\sqrt{a^2+9}+3)}{a^2+9-9})
\displaystyle =\lim_{a \rightarrow 0} (a^2+3(\sqrt{a^2+9}+3))=18


第20題
F_1 , F_2 為圖中雙曲線Γ的兩個焦點， ABCD 為矩形，兩直線 AC , BD 為Γ的漸近線，若有一點 P 到兩漸近線的距離都是8，且 P 不在貫軸上，又 \overline{AB}=8 , \overline{AD}=6 ，求 \Delta PF_1 F_2 的面積？

漸近線是 3y+4x=0, 3y-4x=0

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-20 04:34 PM 編輯 ]