第六題
若從1213中任選出相異三數x、y、z，且xyz，則y−x3且z−y3成立之機率為　　　。
[解答]
意思是x,y至少差2；y,z也至少差2
那麼x,y和y,z之間先各塞兩個數，還剩下13-3-4=6個數，可以放在x前面、x,y之間、y,z之間和z後面四個地方
所以是H64

第三題是怎樣??這種東西要記???我只知道上限是兩人，其他什麼單位??

第二題，我指導的學生，可是他這篇是物理的!!!!
我們學校，唉，好資值的學生都被先被其他科搶走，感嘆!!!!!!!!

計算證明一
設f(x)=cosx+sin(3x) ，試證：f(x)不是週期函數。
[解答]
cosx的週期是2
sin3x 的週期是23
假設f(x)是週期函數，其週期為p
那麼存在正整數m,n，使得
p=m2p=n23
兩式相除得到3=nm 
那麼3 為有理數，與已知矛盾，
故f(x)不是週期函數

113.5.11補充
定理1.
設f(t)=A1cos(1t)+B1sin(1t)++Ancos(nt)+Bnsin(nt),
其中A1AnB1Bn是實數，滿足A21+B12=0A2n+B2n=0而1n為互異的正數。則
(i)f(t)是週期函數當且僅當對任意的i=j有ij是有理數。
(ii)當f(t)為週期函數時，f(t)的最小正週期是Ti=i2(i=1n)的最小公倍數。
數學傳播第48卷第1期
(三角多項式的週期：對47年前本刊創刊號一問題之回響，https://www.math.sinica.edu.tw/2 ... 5-a465-25ca264467a0)

計算證明二
對任意正整數n，設an是方程x3+xn=1的正實數根，求證：(1)an+1an　(2)ni=11(i+1)2ai1 。
[解答]
(1)
顯然所有 a_n 在(0,1)之間
\displaystyle a_{n+1}^3+\frac{a_{n+1}}{n+1}=1
\displaystyle a_{n}^3+\frac{a_{n}}{n}=1
兩式相減
\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_{n}}{n}=0
\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n}}{n}=\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n+1}}{n+1}>0
\displaystyle (a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}^2+a_{n+1}a_{n}+a_{n}^2+\frac{1}{n})>0
後項為正，故
\displaystyle a_{n+1}-a_{n}>0

(2)
實在找不到如何用第一小題來證，還是說其實我的第一小題不該這樣證。
看起來像積分，但是找不到，只好硬作。

先證明
\displaystyle a_{k}>\frac{k}{k+1}
就以 x=\frac{k}{k+1} 代入 x^3+\frac{x}{k}-1
\displaystyle \frac{k^3}{(k+1)^3}+\frac{1}{k+1}-1
只算分子部分
\displaystyle k^3+(k+1)^2-(k+1)^3=-2k^2-k<0
故成立

接著就有
\displaystyle \frac{1}{(i+1)^2 a_{i}}<\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}
所求就為
\displaystyle 1-\frac{1}{n+1}<1