第六題
若從\(1,2,\ldots,13\)中任選出相異三數\(x\)、\(y\)、\(z\)，且\(x<y<z\)，則\(y-x\ge 3\)且\(z-y\ge 3\)成立之機率為　　　。
[解答]
意思是x,y至少差2；y,z也至少差2
那麼x,y和y,z之間先各塞兩個數，還剩下13-3-4=6個數，可以放在x前面、x,y之間、y,z之間和z後面四個地方
所以是\(\displaystyle H_6^4 \)

第三題是怎樣??這種東西要記???我只知道上限是兩人，其他什麼單位??

第二題，我指導的學生，可是他這篇是物理的!!!!
我們學校，唉，好資值的學生都被先被其他科搶走，感嘆!!!!!!!!

計算證明一
設\(f(x)=cos x+sin(\sqrt{3}x)\)，試證：\(f(x)\)不是週期函數。
[解答]
\(\displaystyle \cos{x} \)的週期是\(\displaystyle 2\pi \)
\(\displaystyle \sin{\sqrt{3}x} \)的週期是\(\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt3} \)
假設f(x)是週期函數，其週期為p
那麼存在正整數m,n，使得
\(\displaystyle p=m \times 2\pi , p=n \times \frac{2\pi}{\sqrt3} \)
兩式相除得到\(\displaystyle \sqrt3=\frac{n}{m} \)
那麼\(\displaystyle \sqrt3 \)為有理數，與已知矛盾，
故f(x)不是週期函數

113.5.11補充
定理1.
設\(f(t)=A_1 cos(\omega_1 t)+B_1 sin(\omega_1 t)+\ldots+A_n cos(\omega_n t)+B_n sin(\omega_n t)\),
其中\(A_1,\ldots,A_n,B_1,\ldots,B_n\)是實數，滿足\(A_1^2+B_1^2\ne 0,\ldots,A_n^2+B_n^2\ne 0,\)而\(\omega_1,\ldots,\omega_n\)為互異的正數。則
(i)\(f(t)\)是週期函數當且僅當對任意的\(i\ne j\)有\(\displaystyle \frac{\omega_j}{\omega_i}\)是有理數。
(ii)當\(f(t)\)為週期函數時，\(f(t)\)的最小正週期是\(\displaystyle T_i=\frac{2\pi}{\omega_i}(i=1,\ldots,n)\)的最小公倍數。
數學傳播第48卷第1期
(三角多項式的週期：對47年前本刊創刊號一問題之回響，https://www.math.sinica.edu.tw/2 ... 5-a465-25ca264467a0)

計算證明二
對任意正整數\(n\)，設\(a_n\)是方程\(\displaystyle x^3+\frac{x}{n}=1\)的正實數根，求證：(1)\(a_{n+1}>a_n\)　(2)\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{(i+1)^2a_i}<1\)。
[解答]
(1)
顯然所有\( a_n \)在(0,1)之間
\(\displaystyle a_{n+1}^3+\frac{a_{n+1}}{n+1}=1 \)
\(\displaystyle a_{n}^3+\frac{a_{n}}{n}=1 \)
兩式相減
\(\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_{n}}{n}=0 \)
\(\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n}}{n}=\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n+1}}{n+1}>0 \)
\(\displaystyle (a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}^2+a_{n+1}a_{n}+a_{n}^2+\frac{1}{n})>0 \)
後項為正，故
\(\displaystyle a_{n+1}-a_{n}>0 \)

(2)
實在找不到如何用第一小題來證，還是說其實我的第一小題不該這樣證。
看起來像積分，但是找不到，只好硬作。

先證明
\(\displaystyle a_{k}>\frac{k}{k+1} \)
就以\( x=\frac{k}{k+1} \)代入 \( x^3+\frac{x}{k}-1 \)
\(\displaystyle \frac{k^3}{(k+1)^3}+\frac{1}{k+1}-1 \)
只算分子部分
\(\displaystyle k^3+(k+1)^2-(k+1)^3=-2k^2-k<0 \)
故成立

接著就有
\(\displaystyle \frac{1}{(i+1)^2 a_{i}}<\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1} \)
所求就為
\(\displaystyle 1-\frac{1}{n+1}<1 \)