第8題我有在網路上找到一模一樣的題目詳解
可是該解法看起來像是一開始就知道兩個地方的取等條件是cosa=2/3
導致其他地方做了很多神奇的縮放
雖然版主有列出他是考古題了
但還是想請問一下合理的正確做法?(又或許這做法合理只是我沒看出來)
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感謝Hawlee老師，原來是靠上下同乘後對分母算幾
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自己嘗試做了一次之後還是做不太出來，得配出一模一樣的係數有點反直覺

想請教一下第６題
大家都沒問題那肯定就是我做法有問題

原題等同在AB上找一點P，並在CP上找A的垂足E，求AE^2+BE^2最小
座標化
A(0,4)
B(3,0)
C(0,0)
P(3t,4-4t)
則CE直線方程式:y=(4-4t/3t)x
過A點垂線:y-4=(3t/4t-4)x
寫到這邊其實快瘋了...
令k=4-4t/3t回頭再檢查條件
=>-(1/k)x+4=kx
=>x=4k/(k^2+1)
=>y=4k^2/(k^2+1)

垂足E(4k/(k^2+1),4k^2/(k^2+1))

AE^2+BE^2=(4k/(k^2+1))^2+(4-4k/(k^2+1))^2+(3-4k/(k^2+1))^2+(4k^2/(k^2+1))^2
經過一連串崩潰的計算，好險4次方能消掉...
=25-24k/(k^2+1)
求24k/(k^2+1)極值得±12
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感謝鋼琴老師，忘記用到角C是直角的條件...

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-5-1 06:41 編輯 ]

OP=OQ
=>|Ax|=|x|
=>x^TA^TAx=x^Tx
=>x^T(A^TA-I)x=0
因為A^TA和I都是對稱
=>(A^TA-I)對稱=>可對角化
=>(A^TA-I)=VDV^T,其中D為對角矩陣d1,d2為D的特徵值,V為其特徵向量所成矩陣
因為對所有的x=(x1,x2)^T都成立
=>D=零矩陣
後面就跟今年出現很多次的A^T=A^(-1)一樣了
基本上就是設4個變數硬爆
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考慮高中範圍的話
著色部分可替代為
A^TA-I=對稱矩陣
a   b
b   c
分別讓x=(1,0),(0,1),(1,1)帶入可得到a=b=c=0

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-5-2 17:02 編輯 ]