6.
已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle C=90\)度，\(\overline{BC}=3\)，\(\overline{AC}=4\)，\(P\)點為斜邊\(\overline{AB}\)上的動點，現在沿著\(\overline{CP}\)將\(\triangle BCP\)折起來，使折起來後的平面\(BCP\)垂直平面\(ACP\)，則折起來後的\(\overline{AB}\)最小值為何？
7.
設\(P\)為平面上任意一點，\(O\)為原點，若二階方陣\(A\)將\(P\)對應到\(Q\)且\(\overline{PO}=\overline{QO}\)，以高中數學內容證明：\(A\)必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。
[解答]
114.7.25補充
以Gemini 2.5 Pro計算，指令為"設P為平面上任意一點，O為原點，若二階方陣A將P對應到Q且PO=QO，以高中內容證明：A必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。"，以下為回應結果
好的，這是一個非常好的問題，它將線性變換的幾何意義與矩陣的代數性質聯繫在一起。我們可以用高中向量和矩陣的知識來完成證明。
這個證明的思路是：
1.將幾何條件\(PO=QO\)轉換為向量和矩陣的代數關係。
2.證明這個代數關係等價於\(A^TA=I\)（即\(A\)是正交矩陣）。
3.一旦證明\(A\)是正交矩陣，後續的推導將與
前一題完全相同，即證明\(A\)必為旋轉或鏡射矩陣。
證明
1.將幾何條件轉換為代數關係
設點\(P\)的座標為\((x,y)\)，其位置向量為\(\vec{OP}=[x,y]^T\)。
設二階方陣為\(A=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\)。
\(A\)將\(P\)(對應到\(Q\)，所以\(Q\)的位置向量\(\vec{OQ}\)為：
\(\vec{OQ}=A\vec{OP}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\left[\matrix{x\cr y}\right]=\left[\matrix{ax+by\cr cx+dy}\right]\)題目給定的條件是\(PO=QO\)，這表示\(P\)點到原點的距離等於\(Q\)點到原點的距離。用向量的長度（範數）來表示就是：\(||\vec{OP}||=||\vec{OQ}||\)為了方便計算，我們使用距離的平方：\(||\vec{OP}||^2=||\vec{OQ}||^2\)將座標代入：\(x^2+y^2=(ax+by)^2+(cx+dy)^2\)展開等號右邊：\(x^2+y^2=(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)+(c^2x^2+2cdxy+d^2y^2)\)整理合併\(x^2\),\(y^2\),\(xy\)的同類項：\(1\cdot x^2+1\cdot y^2+0\cdot xy=(a^2+c^2)x^2+(b^2+d^2)y^2+(2ab+2cd)xy\)
2.證明\(A\)為正交矩陣(\(A^TA=I\))
因為這個等式必須對平面上任意一點\(P(x,y)\)都成立，所以等號兩邊對應項的係數必須相等。
比較係數可得：
\(x^2\)的係數：\(a²+c²=1\)
\(y^2\)的係數：\(b²+d²=1\)
\(xy\)的係數：\(2ab+2cd=0\)⇒\(ab+cd=0\)
現在我們來計算\(A^TA\)：
\(A^TA=\left[\matrix{a&c\cr b&d}\right]\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]=\left[\matrix{a^2+c^2&ab+cd\cr ab+cd&b^2+d^2}\right]\)將我們上面比較係數得到的結果代入：\(A^TA=\left[\matrix{1&0\cr0&1}\right]=I\)
這證明了「保持點到原點距離不變」的幾何特性，等價於矩陣滿足\(A^TA=I\)的代數特性。滿足此條件的矩陣稱為正交矩陣。
3.利用正交矩陣的性質推導\(A\)的形式
從這裡開始，證明的步驟就和
前一題完全一樣了。
首先，計算\(A\)的行列式\(det(A)\)：
\(det(A^TA)=det(I)\)
\(det(A^T)det(A)=1\)
\((det(A))²=1\)
所以，\(det(A)=1\)或\(det(A)=-1\)。
接著，我們利用\(a^2+c^2=1\)和\(b^2+d^2=1\)引入參數式。
令\(a=cos(\alpha)\),\(c=sin(\alpha)\)
令\(b=cos(\beta)\),\(d=sin(\beta)\)
代入\(ab+cd=0\)，得到\(cos(\alpha-\beta)=0\)。
我們分兩種情況討論：
情況一：\(det(A)=1\)(旋轉矩陣)
\(det(A)=ad-bc=cos(\alpha)sin(\beta)-cos(\beta)sin(\alpha)=sin(\beta-\alpha)=1\)。
結合\(cos(\alpha-\beta)=0\)，唯一滿足條件的是\(\displaystyle \beta=\alpha+\frac{\pi}{2}\)。
代入\(b\)和\(d\)的表達式：
\(\displaystyle b=cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-sin(\alpha)\)
\(\displaystyle d=sin(\alpha+\frac{\pi}{2})=cos(\alpha)\)
所以矩陣\(A\)為：\(A=\left[\matrix{cos(\alpha)&-sin(\alpha)\cr sin(\alpha)&cos(\alpha)}\right]\)
這是一個旋轉矩陣。
情況二：\(det(A)=-1\)(鏡射矩陣)
\(det(A)=ad-bc=sin(\beta-\alpha)=-1\)。
結合\(cos(\alpha-\beta)=0\)，唯一滿足條件的是\(\displaystyle \beta=\alpha-\frac{\pi}{2}\)。
代入\(b\)和\(d\)的表達式：
\(\displaystyle b=cos(\alpha-\frac{\pi}{2})=sin(\alpha)\)
\(\displaystyle d=sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=-cos(\alpha)\)
所以矩陣\(A\)為：\(A=\left[\matrix{cos(\alpha)&sin(\alpha)\cr sin(\alpha)&-cos(\alpha)}\right]\)
這是一個鏡射矩陣。
結論
我們從幾何條件\(PO=QO\)出發，證明了執行此變換的矩陣\(A\)必須是正交矩陣(\(A^TA=I\))。接著，根據正交矩陣行列式值必為\(\pm 1\)的性質，我們推導出\(A\)的結構，證實了它必定是旋轉矩陣或鏡射矩陣。證明完畢。
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二階方陣A滿足\(A^T=A^{-1}\)，證明：\(A\)必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。
(114高雄中學，
https://math.pro/db/thread-3962-1-1.html)
8.
若\(x\)、\(y\)為正數，且\(\displaystyle x^2+\frac{y^2}{45}=1\)，則試求\(\displaystyle \frac{2}{1-x}+\frac{75}{10-y}\)之最小值。
10.
(1)試證明已知\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為三實數，假設\(t=-(\alpha+\beta+\gamma)\)，\(v=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\)，且滿足\(\alpha\beta\gamma=-1\)、\(t+v=-3\)，則
\(\alpha^{\frac{1}{3}}+\beta^{\frac{1}{3}}+\gamma^{\frac{1}{3}}=\root 3\of {(-t-6)+3\root 3\of{t^2+3t+9}}\)。
(2)利用(1)的結果，試證明\(\root 3\of{\displaystyle cos \frac{2\pi}{9}}+\root 3\of{\displaystyle cos \frac{4\pi}{9}}+\root 3\of{\displaystyle cos \frac{8\pi}{9}}=\root 3\of{\displaystyle \frac{3}{2}(\root 3\of 9-2)}\)。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2759
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1079891p12521649
