6.
令E(x)=皆開啟,E(a)=a開啟,E(b)=b開啟
顯然E(a)=E(b)=3
E(x)=1+(2/3)^2E(x)+(1/3)(2/3)E(a)+(2/3)(1/3)E(b)
=>(5/9)E(x)=1+4/3=7/3

因圓內接梯形必等腰
定座標A(-4,0),D(4,0)，圓心O(0,k)，C(x_0,y_0),D(-x_0,y_0)
則C帶入圓方程:x_0^2+(y_0-k)^2=4^2+k^2
又線段AB^2=(-x_0+4)^2+y_0^2=4^2
兩式相減可得8x_0-2ky_0=16
又AB平行D之切線，且D之切線垂直半徑OD
=>y_0/(-x_0+4)=4/k
=>ky_0=-4x_0+16，恰可帶回解出x_0=3
其他剩下的就是純計算了

想請教記憶版中的
三、用9黑，9白共18相同的正方形，拼成六列三行的矩形，若相鄰兩列皆不同放法，共有多少種可能？
毫無頭緒，弄了個分類討論弄了半小時感覺還可能是錯的...

白總數限制為9
故可分為
(3白、2白、1白、0白)

(3,0,0,3):
共2種

(2,1,1,2):
3*3*(4!/2!*C(5,2)-3!*C(4,2))=756
共756種

(2,0,3,1)
3個1白的排列
3同:3*(3!/2!*C(4,3)-2!*C(3,3))=30
2同1異:3*2*(4!/2!*C(5,2)-3!*C(4,2))=504
3異:4!*C(5,2)=240
共30+504+240=774種

(1,3,0,2)
同上共774種

(1,2,2,1)
2白相同，1白相同
同(2,1,1,2)756
2白相同，1白相異
3*3*4!*C(5,2)=2160
2白相異，1白相同
3*3*4!*C(5,2)=2160
2白相異，1白相異
3*3*6!=6480
共756+2160+2160+6480=11556種

(1,1,4,0)
3同:3*3*2*3!*C(4,3)=432
2組2同:3*3*(4!/2!*C(5,2)-3!*C(4,2))=756
2同2異:3*3*4!*C(5,2)=2160
共432+756+2160=3348種

(0,4,1,1)
同上共3348種

(0,3,3,0)
3同/3同:3*3*2=18
3同/2同1異:3*3*2*(3!/2!*C(4,3)-2!*C(3,3))=180
3同/3異:3*3!*C(4,3)=72
2同1異/3同:180
2同1異/2同1異:3*2*3*2*(4!/2!*C(5,2)-3!*C(4,2))=3024
2同1異/3異:3*2*4!*C(5,2)=1440
3異/3同:72
3異/2同1異:1440
3異/3異:6!=720
共18+180+72+180+3024+1440+72+1440+720=7146
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總和為2+756+774+774+9396+3348+3348+7146+2160=27704
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原來原題沒有相鄰兩個字...
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感謝peter老師指出少了一組2160

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-4-23 12:17 編輯 ]