寫過最難的一份考卷.....小弟只能拋磚引玉寫幾題會的提供想法給各位參考

2.
令二階方陣Ek=cosksinksink−cosk ，則2022個方陣的乘積E1E2E3E2002=　　　。
[解答]
EkEk+1可以合成一個順時針旋轉1的旋轉矩陣，共有1011組，取同界角為69

4.
五邊形ABCDE，在頂點A有一隻青蛙，每次青蛙會隨機往一個相鄰的頂點跳躍(也就是往相鄰的機率皆為21)，當再跳到A的時候即停止跳動。則該青蛙跳躍次數的期望值為　　　。
[解答]
假設從B，E到A的期望值為x  C，D到A的期望值為y
可以列式 x=21+21(1+y)y=21(1+x)+21(1+y)
解得(xy)=(46)
因為從A出發的第一步必得是往B或是E，所以所求為4+1=5

5.
已知平面上三點A(89)、B(40136)、C(10390)，則在ABC內部(不包含邊界)有　　　個格子點。
[解答]
用皮克定理: A=n+21S−1，其中 S為邊上格子點數量，n為內部格子點數量
這題數字也算是有配好，因為可以發現邊上的格子點，除了頂點外根本沒有，所以S=3
剩下的就只能真的土法煉鋼硬算面積了
29473=23+n−1n=29472=4736

10.
已知I為ABC的內心，且4IB+4IC=−5IA，設R，r分別為ABC的外接圓半徑與內切圓半徑，若r=15，則
R之值為　　　。
[解答]
很笨的方法 直接改寫向量 AI=413AB+413AC
延長AI交BC於D
可得AI:ID=8:5 ，直接設AI=8ID=5
接下來即可求出邊長比a:b:c=5:4:4
利用rR=abc4(s−a)(s−b)(s−c)，即可求出R=32

好幾題回去想才發現根本沒那麼難... 90分鐘真的夠趕...

在C_0^{2022}、C_1^{2022}、C_2^{2022}、\ldots、C_{2022}^{2022}這2023個數之中，有　　　個數是3的倍數。
[解答]
題目等同詢問 哪些數在模3之下為0
考慮2022=(2202220)_3，若k=(abcdefg)_3
則\displaystyle C^{2022}_k \equiv C^2_a C^2_b C^0_c \cdots C^0_g (mod 3)

若c=g=0則  \displaystyle C^{2022}_k必不為3的倍數
即a,b,d,e,f有0,1,2三種選法，共有243種

所求為2023-243=1780