N
不失一般性假設\(a\leq b \leq c\)
則\(abc=2(a+b+c) \leq 6c \Rightarrow ab\leq 6\)

因此\((a,b)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3)\)

代回原式檢驗得到

\((a,b,c)=(1,3,8),(1,4,5),(2,2,4)\)

排列後共有15組

K.
線性變換一下
令\(\displaystyle x=x' , y=2y'\)
則橢圓變成圓形:\(x'^2+y'^2=18\)，且 \(P'(-3,3)\)
題目則改成在圓形上最大的三角形面積，且其中一點為\(P'\)
發生在正三角形的情況
且容易求出\(\displaystyle Q'(\frac{3-3\sqrt{3}}{2},\frac{-3\sqrt{3}-3}{2}) , R'(\frac{3+3\sqrt{3}}{2},\frac{3\sqrt{3}-3}{2})\)

回推到\(Q(\displaystyle \frac{3-3\sqrt{3}}{2},-3\sqrt{3}-3),R(\displaystyle \frac{3+3\sqrt{3}}{2},3\sqrt{3}-3)\)

\(\displaystyle \overline{QR}=3\sqrt{15}\)

O.
想法基本上就是分項對消
找到一個函數\(F(k)\)
滿足\(F(k)-F(k-1)=k(k+1)(21-k)(22-k)\)
用手算太累，請AI幫忙 wwww

這個東西用CHATGPT寫出來\(\displaystyle F(k)= \frac{k(k+1)(k+2)(752-53k+k^2)}{5}\)
所以分子為\(F(20)=170016\)
又易知道分母為\(\displaystyle \frac{21\times22\times 23}{3}=3542\)
故答案為\(\displaystyle \frac{170016}{3542}=48\)

考試的時候應該會先砍掉這題....