填充11
\(z\)在直角坐標平面的軌跡為圓形
\(\displaystyle x^2+y^2-(\frac{2k^2}{k^2-1})x+(\frac{2}{k^2-1})y+1=0\)

圓心在\(\displaystyle (\frac{k^2}{k^2-1},\frac{-1}{k^2-1})\)，\(r=\displaystyle \frac{\sqrt{2}k}{k^2-1}\)

\(\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}w\)在坐標平面軌跡 \(x+y+6=0\)

所求為圓上一點到直線的最短距離
得到\(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}k}{k^2-1}\)
其中\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}k}{k^2-1}\) 在\(k=2\)  時有最大值為\(\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
因此所求的最小值為\(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{17\sqrt{2}}{6}\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-9 00:15 編輯 ]

確認一下計算二的答案
1.2
2.\(2x\)
3.2

謝謝鋼琴老師的指正
但是答案仍是不同
不知道是否哪邊有問題

(2)令\(\displaystyle G(x)=(x^2+x+1)f(x)\)
設\(f(x)=(x^2-x+1)Q_1(x)+(ax+b)\)
同乘\(x^2+x+1\) 得到 \(G(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q_1(x)+(ax+b)(x^2+x+1)\)
因為\(G(x)\) 除以\(x^2+x+1\)的餘式為\(0\)
且\(G(x)\) 除以\((x^2-x+1)\)的餘式為\(2x\)
得到\(G(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q_1(x)+(x^2+x+1)\)
因此\(a=0,b=1\)，所求餘式為\(1\)

(3)令\(\displaystyle G(x)=(x^2+x+1)f(x)\)
設\(f(x)=(x^2+x+1)Q_2(x)+(px+q)\)
同乘\(x^2+x+1\) 得到 \(G(x)=(x^2+x+1)^2Q_2(x)+(px+q)(x^2+x+1)\)

因為\(G(x)\) 除以\((x^3-1)^2\)的餘式為\(200x^5+53x^4-198x^2-51x+2\)
所以\(G(x)\) 除以\((x^2+x+1)^2\)的餘式為\(94x^3+443x^2+443x+349\)
即\((px+q)(x^2+x+1)=94x^3+443x^2+443x+349 \Rightarrow px+q=94x+349\)

後記: 已找出問題，感謝鋼琴老師的指正

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-9 23:06 編輯 ]

感謝鋼琴老師
(2)計算錯誤
(3)頭昏了，想得太快

以下方法為突發奇想
是不是都能這樣做不知道XD

令\(y=x^3\)
定義\(H(y)=2x^2y^{100}+xy^{33}+xy^{20}+2\)
找\(H(y)\)除以\((y-1)^2\)的餘式
利用泰勒展開式：\((200x^2+53x)(y-1)+2(x^2+x+1)\)
還原回去展開就可以得到\(200x^5+53x^4-198x^2-51x+2\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-9 14:35 編輯 ]