微積分考蠻多的...

3.
設雙曲線：x249−y2240=1的焦點為F、F，中心為O，若P為雙曲線上的一動點，則滿足FPF 為鈍角且OP長度為正整數的動點P共有　　　種可能性。
[解答]
根據鈍角三角形的條件
可以得知x2+14x−4800x10 

即10x16
再根據中線定理求出OP2=(x+7)2−240
由10x16求出 49OP2289OP=7816
共9個點滿足條件

四個象限共36個點

7.
設n為正奇數，黑箱中有n枚硬幣，其中1枚兩面都是人頭(Head)，1枚兩面都是字(Tail)，其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等，每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的；將手伸入箱中握住三枚硬幣，取出後將手打開，在此三枚硬幣朝上的面是2個人頭和1個字的條件下，若此三硬幣的另一面是1個人頭和2 個字的機率為74，則正奇數n=　　　。
[解答]
以下ABC分別表示 雙人頭，雙文字，一人頭一文字

2人頭1文字: 有ACB，ACC，CCB，CCC四種情形
機率:

ACB:3n(n−1)

ACC:3(n−3)2n(n−1)

CCB:3(n−3)4n(n−1)

CCC:8n(n−1)3(n−3)(n−4)

滿足題意的情況為ACB，CCC這兩種

所以列式可得
3+83(n−3)(n−4)3+49(n−3)+83(n−3)(n−4)=74

解出n=11 ( n=4不合)