微積分考蠻多的...

3.
設雙曲線\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{240}=1\)的焦點為\(F\)、\(F'\)，中心為\(O\)，若\(P\)為雙曲線\(\Gamma\)上的一動點，則滿足\(\angle FPF'\)為鈍角且\(\overline{OP}\)長度為正整數的動點\(P\)共有　　　種可能性。
[解答]
根據鈍角三角形的條件
可以得知\(\left\{
\begin{array}{LL}

x^2+14x-480<0 \\
x>10
\end{array}
\right.
\)

即\(\displaystyle 10<x<16\)
再根據中線定理求出\(\displaystyle \overline{OP}^2=(x+7)^2-240\)
由\(\displaystyle 10<x<16 \)求出 \(\displaystyle 49<\overline{OP}^2<289 \Rightarrow \overline{OP}=7,8,\cdots 16\)
共9個點滿足條件

四個象限共36個點

7.
設\(n\)為正奇數，黑箱中有\(n\)枚硬幣，其中1枚兩面都是人頭(Head)，1枚兩面都是字(Tail)，其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等，每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的；將手伸入箱中握住三枚硬幣，取出後將手打開，在此三枚硬幣朝上的面是2個人頭和1個字的條件下，若此三硬幣的另一面是1個人頭和2 個字的機率為\(\displaystyle \frac{4}{7}\)，則正奇數\(n=\)　　　。
[解答]
以下ABC分別表示 雙人頭，雙文字，一人頭一文字

2人頭1文字: 有ACB，ACC，CCB，CCC四種情形
機率:

ACB:\(\displaystyle \frac{3}{n(n-1)}\)

ACC:\(\displaystyle \frac{3(n-3)}{2n(n-1)}\)

CCB:\(\displaystyle \frac{3(n-3)}{4n(n-1)}\)

CCC:\(\displaystyle \frac{3(n-3)(n-4)}{8n(n-1)}\)

滿足題意的情況為ACB，CCC這兩種

所以列式可得
\(\displaystyle \frac{3+\frac{3}{8}(n-3)(n-4)}{3+\frac{9}{4}(n-3)+\frac{3}{8}(n-3)(n-4)}=\frac{4}{7}\)

解出\(n=11\) ( \(n=4\)不合)