111竹北高中

竹北一如往常的簡單
填充1.
如圖，設ABC中，C=90 ，以AB、AC為邊向外各作正三角形ABF和ACG，點M是BC中點。若MF=11，MG=7，則BC的長度為　　　。
[解答]
由費馬點知BG=CF
由中線定理：CG2+BG2=2(MG2+MC2)，CF2+BF2=2(MF2+MB2)
兩式相減得BF2−CG2=2(MF2−MG2)=BC2=144

填充2.
設函數f:(0)R，滿足f1−11+t+ft1+tlog(1+t)=ft1+tlogt+2022 ，則f(1000)=　　　。
[解答]
分別令x=t1+t和x=tt+1
f(x)−f(x1)logx=2022，f(x1)+f(x)logx=2022，logxf(x1)+f(x)(logx)2=2022logx
f(x)(1+(logx)2)=2022+2022logx，f(x)=1+(logx)22022+2022logx

填充3.
設a0=23an=21+an−121，試求limn4n(1−an)的值為　　　。
[解答]
a0=cos6，an=cos62n，1−an=2sin2122n
令x=12n，所求=limx0x22sin212x=limx027212xsin12x2=272 

填充8.
拋物線y^2=4cx(c>0)的焦點為F，準線為L。A、B是拋物線上的兩動點，且滿足\displaystyle \angle AFB=\frac{\pi}{3}，設線段AB的中點M在L上的投影點為N，則\displaystyle \frac{\overline{MN}}{\overline{AB}}的最大值為　　　。
[解答]
令\overline{AF}=a,\overline{BF}=b，\displaystyle \frac{\overline{MN}}{\overline{AB}}=\frac{\displaystyle\frac{d(A,L)+d(B,L)}{2}}{\overline{AB}}=\frac{a+b}{2\sqrt{a^2+b^2-ab}}
平方，\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2}{4a^2+4b^2-4ab}=\frac{1}{4}+\frac{3ab}{4a^2+4b^2-4ab}\le\frac{1}{4}+\frac{3ab}{8ab-4ab}=1