填充13.
設\(c\)為大於1的實數，\(\Omega_c\)表二次曲線\(y=cx(1-x)\)與\(x\)軸所圍的封閉區域，若直線\(y=x\)將\(\Omega_c\)分成兩塊等面積的區域，求\(c\)的值為
。
[解答]
求\(y=x\)和\(y=cx(1-x)\)交點坐標
\(cx(1-x)=x\)，\(c(1-x)=1\)，\(\displaystyle x=1-\frac{1}{c}\)
計算整個拋物線與\(x\)軸圍成的總面積
\(\displaystyle \int_0^1(cx-cx^2)dx=\left.\left(\frac{c}{2}x^2-\frac{c}{3}x^3\right)\right|_0^1=\frac{1}{6}c\)
其中部分面積為總面積的一半
\(\displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{c}}\left[-cx^2+(c-1)x\right]dx=\frac{1}{12}c\)
\(\displaystyle \Rightarrow-c\cdot\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{c}\right)^3+\frac{1}{2}(c-1)\left(1-\frac{1}{c}\right)^2=\frac{c}{12}\)
註：因\(\displaystyle c-1=c\left(1-\frac{1}{c}\right)\)，同除以\(c\)後可化簡為：
\(\displaystyle \Rightarrow-\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{c}\right)^3+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{c}\right)^3=\frac{1}{12}\)
\(\displaystyle \Rightarrow\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{c}\right)^3=\frac{1}{12}\)
\(\displaystyle \Rightarrow\left(1-\frac{1}{c}\right)^3=\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow1-\frac{1}{c}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow c=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}-1}\)
115.6.9補充
在坐標平面上以\(\Omega\)表曲線\(y=x-x^2\)與直線\(y=0\)所圍的有界區域。
(1)試求\(\Omega\)的面積。
(2)若直線\(y=cx\)將\(\Omega\)分成面積相等的兩塊區域，試求\(c\)之值。
(103數學甲，
https://math.pro/db/thread-1992-1-1.html)
