4.
為方程式x4+x3+1=0的四個根，試求 111111111111=　　　。
[解答]
所求=abcd-(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+2(a+b+c+d)-3   (直接 觀察 abcd 的係數 = 1 ,abc 的係數 = 0 ,ab 的係數 = 1 0 = -1
           =   1   -     0     +2 (     -1     ) -3 = -4                      a 的係數 = 0 1 1= 2         常數項=0111 =3111=3 1 1 1=3(-1)=-3
                                                                                                          1 0 1                           1011   3011   0-1 0 0
                                                                                                          1 1 0                           1101   3101   0 0-1 0           
                                                                                                                                             1110   3110   0 0 0-1
                                                                                         推廣 :  係數 = 1, 0 ,-1, 2 ,-3, 4 ,-5, 6 .........

5.
化簡340+1113+340−13= 　　　。
[解答]
    令所求  x =a+b ,  由 a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)  得 80=x^3-9x => (x-5)(x^2+5x+16)=0
      故所求 實數 x = 5

11.
abcR，a+b+c=0，abc=100，若a、b、c三數中最大的數為a，試求a的最小值為　　　。
[解答]
a 為最大值 => a>0  ,  b+c=-a , bc=100/a => (b-c)^2= (b+c)^2-4bc=(a^3-400)/a>=0 => a>=20^(2/3) 為所求
       此時 b=c<0<a 符合 a 為最大值的條件

12.
正方形ABCD中一點P，已知PA=7、PB=3、PC=5，求此正方形之面積為　　　。
[解答]
    令 AB^2=BC^2=x 則 cos(PBC)^2+cos(PBA)^2=1 =>
        ( x+3^2-5^2)^2+(x+3^2-7^2) ^2=2^2*3^2*x  =>  (x-58)(x-16)=0 , 所求=x=58 (16不合)
另法 : 以B為軸心將ABP旋轉90度至CBQ 則PQ=3ㄏ2,角BPQ=45度 COS(QPC)=(18+25-49)/(2*3ㄏ2*5)=-1/(5ㄏ2)
           SIN(QPC)=7/(5ㄏ2) ,
           所求=BC^2=9+25-2*3*5*COS(BPC)=34-30(CC-SS)=34-30 [ (1/ㄏ2)*(-1/(5ㄏ2))-(1/ㄏ2)*(7/(5ㄏ2)) ] = 58


16.
[x]表示不超過x的最大整數值，例如：[28]=2、[−28]=−3，已知x滿足[x+19100]+[x+20100]++[x+91100]=546，試求：[100x]=　　　。
[解答]
  共有 73 個 [ ] , 546/73=7....35 故後面35 個 [ ] 都是 8 即 [x+0.56]=7  ,  [x+0.57]=8 =>x=7.43....=> [100x]=743

所求相當於x^2+(y-3)^2<=9 即 x^2+y^2-6y<=0 與 x^2+y^2<=1,兩交集圖形繞y軸繞出來的體積,其中兩圓周有一交點是(x1,1/6)
故所求=積分( (6y-y^2)*PI*dy ,y=0..1/6) + 積分( (1-y^2)*PI*dy ,y=1/6..1)=7PI/12

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-4-25 09:46 編輯 ]

設大球球心O,三小球球心ABC，ABC的重心G，射線OA上的大小兩球切點D，OG=10,AG=1023
則所求=\overline{OD}=\overline{OA}+\overline{AD}=\sqrt{\overline{OG}^2+\overline{GA}^2}+10=10(1+\sqrt{\frac{7}{3}})

107.6.17新增

三球和大球相切laylay.gif (34.04 KB)

2018-6-17 22:24