令左式為f(x),則f(x)顯然為遞增函數
f(10)=150,f(10-)=146,故無147的函數值存在的空間

12.
設abc=-k,則 a,b,c為f(x)=x^3-9X^2+k=0 的三個實根,y=f(x)之圖形隨k值而上下平移
f`(x)=3x^2-18x=0 => x=0,6
欲使a+b=9-c最大,便要使最小的根c達到最小=>f(0)=k要最大,且具有三實根
=>f(6)=0,此時由圖易知a=b=6,故a+b 最大值=12

f(0+0)=f(0)+f(0)+0*0=>f(0)=0
f(x+x)=f(x)+f(x)+x*x=>f(2x)=2f(x)+x^2.....(A)
當f(x)為多項式時,顯然次數為二次
設f(x)=ax^2+bx
則由(A)知 4a=2a+1=>a=1/2,再由f(4)=14得f(x)=(x^2+3x)/2 (此代入原式 左式=[(x+y)^2+3(x+y)]/2=右式 , 也符合)
=> f(2/3)=11/9
以下證明 對於所有的有理數x,f(x)=(x^2+3x)/2 .......
    f(3x))=f(x)+f(2x)+x(2x)=f(x)+2f(x)+x^2+2X^2=3f(x)+(1+2)x^2
    f(4x)=f(x)+f(3x)+x(3x)=f(x)+3f(x)+(1+2)x^2+3X^2=4f(x)+(1+2+3)x^2 ........
可導出n為正整數時f(nx)=nf(x)+[n(n-1)/2]*x^2  => f(x)=nf(x/n)+[(n-1)/(2n)]*x^2
=>f(x/n)={f(x)-[(n-1)/(2n)]*x^2}/n
f(1)=f(4/4)=(f(4)-3/8*16)/4=2
p為正整數時 f(p)=f(p*1)=pf(1)+p*(p-1)/2*1^2=(p^2+3p)/2
q為正整數時 f(p/q)={f(p)-[(q-1)/(2q)]*p^2}/q={(p^2+3p)/2-[(q-1)/(2q)]*p^2}/q
={(1/2q)p^2+(3/2)p}/q=[(p/q)^2+3(p/q)]/2
f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+x(-x)=>f(-x)=x^2-f(x)
=>f(-p/q)=(p/q)^2-[(p/q)^2+3(p/q)]/2=[(-p/q)^2+3(-p/q)]/2
又f(0)=0=(0^2+3*0)/2,故可知對於所有的有理數x, f(x)=(x^2+3x)/2

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-20 02:38 編輯 ]

計算三
設正方形ABCD的邊長為1，在邊 及 上分別取一點E、F，使得AEF周長為2，求 角ECF
另作 :
以C為圓心BC為半徑畫圓
由E對圓作切線交AD 於H,G為切點
則EG=EB,HG=HD => AEH周長= AB+AD= 2 =AEF周長 => H=F
角ECF=角BCD/2=45度

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 11:28 編輯 ]

x^90+1=0 的根為 cos(2+4*k)度+isin(2+4*k)度,k=0,1,2...89
x^90+1=(x-(cos2度+isin2度))(x-(cos6度+isin6度)).....(x-(cos358度+isin358度))
令x=1, 兩邊取絕對值
=>2=(2sin1度)(2sin3度).......(2sin179度)
=>sin1度sin3度.....sin179度=1/(2^89)
補充比較一下...........
x^180-1=0 的根為 cos(2*k)度+isin(2*k)度,k=0,1,2...179
x^180-1=(x-1)(x^179+x^178+...+x+1)
             =(x-1)(x-(cos2度+isin2度))(x-(cos4度+isin4度)).....(x-(cos358度+isin358度))
兩邊同除以(x-1) 令x=1, 兩邊取絕對值
=>180=(2sin1度)(2sin2度))(2sin3度).......(2sin179度)
=>sin1度sin2度sin3度.....sin179度=90/(2^178)
=>sin2度sin4度sin6度.....sin178度=90/(2^89)
=>(sin2度sin4度sin6度.....sin178度)/(sin1度sin3度.....sin179度)=90請注意 ! 這也是一道考題喔!
經由EXCEL驗證算出sin2度sin4度sin6度.....sin178度=1.45403*10^(-25)  (=Product(C1:C89))
                                 sin1度sin3度sin5度.....sin179度=1.61559*10^(-27)   (=Product(B1:B90))

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 21:40 編輯 ]

(x^2-3x+s)(x^2-3x+t)=0 (前者兩實根和為3,後者兩複數根和亦為3)
二次項係數=s+9+t=14 => a=-3(s+t)=-15

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 23:40 編輯 ]

過A作直線L平行BC,延長BR交L於S,延長CR交L於T
由相似形知TS=AS+AT=2BC+1/2BC=5/2BC => BRC=2/(2+5)ABC(由高的比知)
同理CPA,AQB皆=2/7ABC
故所求=1:[1-(2/7)*3]=7:1
若2:1改為r:1
則所求為(r^2+r+1):(r-1)^2