111嘉義高中

考場時是這樣解，不過再搭配幾何分布，有些東西就不用算這麼久
設X為幾何分布(試驗成功機率為p)的隨機變數

E(X)=n=1n(1−p)n−1p=p1 ，E(X2)=n=1n2(1−p)n−1p=Var(X)+(E(X))2=p22−p 

設S=n=1n3(1−p)n−1p 

則(1−p)S=n=1n3(1−p)np=t=2(t−1)3(1−p)t−1p=t=1(t−1)3(1−p)t−1p=n=1(n−1)3(1−p)n−1p 

所以pS=S−(1−p)S=n=1(n3−(n−1)3)(1−p)n−1p=n=1(3n2−3n+1)(1−p)n−1p=3E(X2)−3E(X)+1 


所以S=p1p26−3p−3p+p2=p3p2−6p−6

想法是從n=1n3(1−p)n−1p=E(X3) 想到要用幾何分布的資訊去推的

說來慚愧，考試時忘了幾何分布的變異數，所以考場當時只能全部重推，結果太緊張仍推錯了