(解一)
由x+y+z=3可得  x+y=3−z，是故目標函數可改寫為  x+y−2z=3−3z，因此專注在z的最大最小值上。
再來就老梗了，移項->柯西不等式->多項式不等式。
由  x+y=3−z、x2+y2=9−z2可得  (x2+y2)(12+12)(x+y)2，因此  (9−z2)(2)(3−z)2
化簡得 0z2−2z−3，即  0(z+1)(z−3)，故z的最大值為3，最小值-1，因此所求最大值為6，最小值為-6

(解二) Lagrange multiplier
定義

  f=(xfyfzf)

。
設  f(xyz)=x+y+z−3、g(xyz)=x2+y2+z2−9、h(xyz)=x+y−2z。因為h函數的極值會發生在邊界上，所以我們會有h=f+g
可以得到

    +2x=1  +2y=1  +2z=−2  

三式相加再搭配邊界條件x+y+z=3，可得0=3+2(x+y+z)，即  =−2，是故

x=−1、y=−1、z=+2

代入另一個邊界條件x2+y2+z2=9，(計算過程懶得打了)，可得=1or−1。
當 =1 時x=0y=0z=3，目標函數有最小值 h(003)=−6。
當 =−1 時x=2y=2z=−1，目標函數有最大值 h(22−1)=6。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-5-28 22:48 編輯 ]

你的做法有點像線性規劃的平行線法，極值會出現在邊界上。
不過在空間裡面，可能要有十足的想像力才有辦法解出了，而且還要想怎麼在答案卷上呈現，
迫於時間壓力不大可能選這條路。

回橢圓大大，我只是想多列幾種方法供大家欣賞，考試時通常時間緊迫，能解出來的都是好方法。
至於會不會給分？真是好問題，我也不知道，哈哈哈...
但是就我寫過的考古題，蠻常出現微積分或線性代數的。

第10題 先國中解法算出B2A2O的底跟高，再用三角函數定義及sin兩倍角求B1A1O面積。
設B2O=a、A2O=b，由題意可得a2+b2=676、ab=240，將a=b240代入第一式可推得b4−676b2+2402=0
即(b2−100)(b2−576)=0，故 b=10 or 24。

設 \angle B_1A_1O=\theta，則 \angle B_2A_2O=2\theta，因 \Delta B_2A_2O 的(底,高)可能為(10,24) 及(24,10)，
故 sin 2\theta=\frac{10}{26} 或 \frac{24}{26} 。

綜上，因為 \Delta B_1A_1O =\frac{1}{2}*B_1O*A_1O =0.5*26cos\theta*26sin\theta=169*sin2\theta，故所求面積可能為156或65。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-2 09:58 編輯 ]

這解法實在漂亮，不過蠻跳的，要花點文字解釋不然很難讀懂，以下提供一個比較直觀的解法。
策略是要列遞迴式，作成轉移矩陣後觀察前幾項應該會發現規律，就可以寫答案了，有時間可以再用數學歸納法證明。
設 p_n為S_n除以3餘1的機率， q_n為S_n除以3餘2的機率， r_n為S_n除以3餘0的機率。易知 p_1=\frac{3}{7}、q_1=\frac{2}{7}、r_1=\frac{2}{7}。

設 X_n=\left[\begin{matrix} p_n \\ q_n \\ r_n  \end{matrix}\right]  ，由題意可得X_n=\left[\begin{matrix} p_n \\ q_n \\ r_n  \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{2}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7}  \\ \frac{3}{7} & \frac{2}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7}  \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} p_{n-1} \\ q_{n-1} \\ r_{n-1}  \end{matrix}\right] ，X_1=\left[\begin{matrix} \frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} \end{matrix}\right]

小心計算後，可得

X_1=\left[\begin{matrix} \frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} \end{matrix}\right] 、X_2=\left[\begin{matrix} \frac{16}{49} \\ \frac{17}{49} \\ \frac{16}{49} \end{matrix}\right]、X_3=\left[\begin{matrix} \frac{114}{343} \\ \frac{114}{343} \\ \frac{115}{343} \end{matrix}\right]、X_4=\left[\begin{matrix} \frac{801}{2401} \\ \frac{800}{2401} \\ \frac{800}{2401} \end{matrix}\right] 、X_5=\left[\begin{matrix} \frac{5602}{16807} \\ \frac{5603}{16807} \\ \frac{5602}{16807} \end{matrix}\right]

應該可以發現規律， X_n 的三個元幾乎是平均的，且當 n=1,4,7... 時 p_n的分子是\frac{7^n+2}{3} ，當 n=2,3,5,6,8,9... 時 p_n的分子是\frac{7^n-1}{3}。因此，

p_n = \begin{cases} \frac{7^n+2}{3*7^n} , 當 n =1,4,7,10,... \\ \frac{7^n-1}{3*7^n} ,  當 n =2,3,5,6,8,9 ... \end{cases}

後記：這題也可以由對角化的或是eigenvalues(特徵值)求一般項，但計算量頗大，eigenvalues還有複數，勇者可嘗試看看。考試時遇到類似題但沒有想法，建議還是先觀察前幾項，不要直接暴力解。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-2 10:44 編輯 ]