一、填充題
1.
同時擲兩個大小不同的骰子一次，我們將出現點數和為4的事件稱為事件\(A\)。今重複投擲上述兩個骰子500次，假設事件\(A\)恰發生\(n\)次的機率為\(p_n\)，則滿足\(p_n<p_{n+1}\)的正整數\(n\)之最大值為
。
2.
\(\triangle ABC中\)，已知\(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=-5\)，\(\vec{BC}\cdot\vec{CA}=-6\)，\(\vec{CA}\cdot\vec{AB}=-7\)，求\(\triangle ABC\)面積為
。
(我的教甄準備之路 三角形的面積，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)
3.
袋中有10球，分別編1~10號，每球被取出的機會均等。遊戲規則如下：每次取一球，取後不放回，當「第\(k+1\)次取出的號碼小於第\(k\)次取出的號碼」或「10球全取完」時才停止。若此時取出的總球數為\(m\)，則可得獎金(\(10\times m!\))元。求此遊戲玩一次得獎金的期望值
元。
4.
已知\(a\)、\(b\)、\(c\)為正整數且\(a,b,c<10\)，若\(ax^2-bx+3c=0\)之兩根為\(\alpha\)、\(\beta\)，且\(1<\alpha<2\)，\(5<\beta<6\)，求序組\((a,b,c)=\)
。
5.
\(x\)、\(y\)為任意實數，令\(\displaystyle t=\frac{x^2+y^2+1}{x+2y+2}\)，求\(t\)的範圍為
。
6.
數列\(\langle a_n\rangle\)滿足：
(1)\(a_1=500\)
(2)對任意正整數\(n\)，恆有\((n+1)(n+2)a_{n+1}a_n-n(n+2)a_{n+1}-(n+1)^2a_n-(n+1)(n+4)=0\)求\(a_{998}=\)
。
7.
平面上有一個三角形\(ABC\)，同一平面上有一點\(P\)滿足\(\vec{PA}+2\vec{PB}+3\vec{PC}=k\vec{AB}\)。若點\(P\)在\(\triangle ABC\)的內部，求實數\(k\)的範圍為
。
8.
已知\(A=\begin{bmatrix}2&0\\a&1\end{bmatrix}\)，其中\(a>0\)。曲線\(\Gamma\)：\(y=x^2\)經過\(A\)變換後可得曲線\(\Gamma'\)，則兩曲線\(\Gamma\)、\(\Gamma'\)所圍成的封閉區域面積為
。(以\(a\)表示)
9.
空間中\(A(a,a,a)\)、\(B(b,b,b)\)兩點與\(xy\)平面上兩點\(C\)、\(D\)是某個體積為72的正四面體之四頂點，若\(a>b>0\)，求\(a\)值為
。
10.
\(x\)、\(y\)為任意實數，定義：\(f(x,y)=\sqrt{(2x-2)^2+(2y-4)^2+(2x-y+9)^2}+\sqrt{(2x+2)^2+(2y+6)^2+(2x-y+11)^2}\)求\(f(x,y)\)的最小值
。
我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174
11.
\(z\)、\(w\)為複數，\(z\)滿足：\(\displaystyle\left|\frac{z-i}{z-1}\right|=k\)，其中\(2\le k\le5\)，\(w\)滿足：\(w+\bar{w}=-6\sqrt{2}\)求\(\displaystyle\left|z-\frac{1+i}{\sqrt{2}}w\right|\)的最小值為
。
二、計算題
1.
\(0<\theta<2\pi\)且\(\displaystyle\theta\neq\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\)，求方程式：\(\displaystyle\left|\log\left(\frac{|\sin2\theta|}{2}\right)-2\log(|\cos\theta|)\right|=5-\tan\theta\)的實根數。
2.
\(a\)為實數，實係數多項式\(f(x)\)滿足：\((x^2+x+1)f(x)=2x^{302}+x^{100}+x^{61}+a\)求：
(1)\(a\)值
(2)\(f(x)\)除以\((x^2-x+1)\)的餘式
(3)\(f(x)\)除以\((x^2+x+1)\)的餘式
3.
\(\triangle PQR\)為正三角形，點\(A\)、\(B\)、\(C\)分別位於\(\overline{PQ}\)、\(\overline{QR}\)、\(\overline{RP}\)上。且\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=4,\overline{CA}=3\)，求\(\triangle PQR\)的最大可能面積。
