2.
已知巴斯卡定理\(C_k^n+C_{k-1}^n=C_k^{n+1}\)
(1)證明\(C_2^2+C_2^3+C_2^4+\ldots+C_2^n=C_3^{n+1}\)。
(2)利用(1)推導出\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
[解答]
(2)
\(\displaystyle \frac{2\cdot 1}{2}+\frac{3\cdot 2}{2}+\frac{4\cdot 3}{2}+\ldots+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{(n+1)n(n-1)}{6}\)
\(\displaystyle (2^2-2)+(3^2-3)+(4^2-4)+\ldots+(n^2-n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle (2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2)-(2+3+4+\ldots+n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle (1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2)-(1+2+3+4+\ldots+n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
6.
在\(\Delta ABC\)中，其內角\(A\)、\(B\)、\(C\)所對應的邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=4cosC\)，求\(tanC(cotA+cotB)\)的值。
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{BC}^2+\overline{AC}^2=6\overline{AB}^2\)，則\(\displaystyle \left(\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}\right)tanC=\) 。
(108高中數學能力競賽北二區筆試二試題)
110.6.16補充
感謝satsuki931000告知
\(\displaystyle \frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}=tanC=\)修正為\(\displaystyle
\left( \frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}\right)tanC=\)
