請教第 4 題
(1) 已知\(a,b,c>0\)．試證明\(\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a}\ge \frac{a+b+c}{3}\)。
(2) 已知\(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3>0\)，試證明\((a_1^3+a_2^3)(b_1^3+b_2^3)(c_1^3+c_2^3)\ge (a_1b_1c_1+a_2b_2c_2)^3\)。
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110.05.08
感謝 chen3553 老師提供記憶版題目，我將老師分享的試題再修正，提供給老師們參考。

備註：
第 8 題的第 (1) 小題學校題目有打錯， \(n → 0^+\) 應該改為 \(x → 0^+\) ，此題應該要送分。
但是昨天晚上考北科附工，今天早上考新北聯招，大家應該都累壞了。
不知道有沒有老師今天早上來得及去提疑義？
（昨天晚上我本來想提，但是找不到疑義申請表，想說今天再打電話問，結果忘了）
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110.5.9版主補充
Superconan提供更完整題目，將chen3553版本移回原文章

111.5.12版主補充
新增官方版題目

(1)柯西不等式
\((\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a})\)\((3a+3b+3c)\geq (a+b+c)^2\)


\(\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a}\geq \frac{a+b+c}{3}\)

(2)原式即証\(\displaystyle (1+r_1^3)(1+r_2^3)(1+r_3^3)\geq (1+r_1r_2r_3)^3\)
其中\(\displaystyle r_1=\frac{a_2}{a_1},r_2=\frac{b_2}{b_1},r_3=\frac{c_2}{c_1}\)

\(\displaystyle (1+r_1^3)(1+r_2^3)(1+r_3^3)=1+(r_1^3+r_2^3+r_3^3)+[(r_1r_2)^3+(r_2r_3)^3+(r_3r_1)^3]+(r_1r_2r_3)^3\geq 1+3r_1r_2r_3+3(r_1r_2r_3)^2+(r_1r_2r_3)^3=(1+r_1r_2r_3)^3\)得証

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-5-7 21:20 編輯 ]

請問紅色那邊怎麼整理成a+b+c？

B5FA4538-C56D-4B2E-829C-A51443294D6C.jpeg (251.74 KB)

2021-5-7 22:28

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-5-7 22:28 發表
請問紅色那邊怎麼整理成a+b+c？
5989

不是這樣寫
左邊第二個括號應該是[  (√2a+b)² +√2b+c)²+√2c+a)²]

\( 3a +3b +3c = (2a+b) + (2b+c) + (2c+a) \)
是用右邊的三個去做柯西

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-5-7 20:53 發表
請教這兩題

5988

第二題考廣義科西不等式證明
也可以用算幾不等式來證

感謝以上老師，寫出來了，不過想請教一下，是否需書寫等號成立的條件？

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-5-7 22:48 發表
感謝以上老師，寫出來了，不過想請教一下，是否需書寫等號成立的條件？

要喔~這樣才不會被挑毛病而扣分

努力拼湊出的題目樣貌
大概因為大部分都是證明題就乾脆不公布......

想順道請問第3題該如何證明