試題及答案請見附件。

以下資料供以後的考生參考：
初試最低錄取分數 79分
100,86,82,80,79

其他
70~76分 6人
60~69分 5人
50~59分 8人
40~49分 15人
30~39分 14人
20~29分 16人
10~19分 18人
0~ 9分 25人

共計112人

1.設數列an遞迴定義式為a1=1an=5an−13an−1+4，(nNn2)，求an=？(以n表示)


2.求f(x)=x4−3x2+4+x4−3x2−8x+20 的最小值？及當時的x值？

88高中數學能力競賽　台北市筆試二試題
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... h_TaipeiCity_02.pdf
95台中高農，96彰師附工，97文華高中，99萬芳高中都考過這題
https://math.pro/db/thread-969-1-1.html


5.若a,b,c為△ABC的三邊長，且s=2a+b+c，求證：s−a+s−b+s−c2a+b+c

a,b,c為△ABC的三邊長，試證明a+b−c+a−b+c+−a+b+ca+b+c 

(1996APMO，http://www.cms.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo1996.html
97中二中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807　連結已失效
99新竹實驗中學 都考過這題)


7.
解x=x−x1+1−x1 
[解答]
x−x1+1−x1x−x1−1−x1=x−1 
xx−x1−1−x1=x−1 
x−x1−1−x1=xx−1 
x−x1+1−x1=x 
兩式相加得到2x−x1=(x−x1)+1 
4x−x1=x−x12+2x−x1+1 
x−x12−2x−x1+1=0 
x−x1−12=0 
x−x1−1=0
x2−x−1=0
x=215 

112.8.21補充出處
Find all real numbers x such that x=x−x112+1−x112 
(1998加拿大數學奧林匹亞，https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/exam1998.pdf)

其他類似問題請一併準備
解方程式x−x1+1−x1=x 
(初中數學競賽教程P58)

解方程式1−12x+2x−12x=2x 
(94台北縣高中聯招)
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=36653
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12804

解方程式x+x1+1+x+x1=x 
(建中通訊解題第55期)

111.7.1補充
若a是1−x1+x−x1=x 的解，則a=　　　。
(101桃園農工，https://math.pro/db/thread-1379-1-6.html)

8.若ax+by=3ax2+by2=7ax3+by3=16ax4+by4=42，求ax5+by5=？
更多類似題目請見　https://math.pro/db/thread-799-1-2.html

Jensen不等式就要請你自行google了

另外一種方法就用均方根
連結已失效h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=20&year=1996
點題號跳到討論的文章

題目出自初中數學競賽教程P58，結論是題目印錯將減號印成加號，考量各位網友手邊沒有這本書，我直接將書本內容貼出來，希望各位不要再受到這題的困擾了。

初中數學競賽教程P58.gif (29.57 KB)

2012-9-18 20:09

初中數學競賽教程P409.gif (49.03 KB)

2012-9-18 20:09

考古題也考過
解方程式1−12x+2x−12x=2x 
(94台北縣高中聯招，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12804　連結已失效)

xR且1−x1+x−x1=x 
(99鳳新高中，https://math.pro/db/thread-974-1-1.html)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42580　連結已失效

解x−x1+1−x1=x 
(100建國中學數理資優入班鑑定初選　數學能力測驗試題卷，http://www.ck.tp.edu.tw/~cktop94/test/mstest/100math.pdf)

101.9.21補充
和99鳳新高中這篇文章合併在一起

102.6.23補充
若x=x−x1+1−x1 ，求x=？
(102基隆高中，https://math.pro/db/thread-1659-1-1.html)

106.7.21補充
試求所有實數x，使得x=x−x1+1−x1 
(106木柵高工，https://math.pro/db/thread-2842-1-1.html)