1.
在矩形ABCD中，若AB=2、BC=23 ，過AC的中點O作EFAC交AD於E、交BC於F，將平面ABFE沿EF摺起，使得平面ABFE垂直平面CDEF，求此時cos∠BFC=？

設有一張長方形的紙ABCD，已知AB=8，BC=4，通過對角線BD的中點M且垂直於BD的直線分別交AB與CD於E、F兩點，當以EF為折線把紙ABCD折起來，使得平面AEFD垂直於平面EBCF，此時若∠CFD=，0，則cos=？
(100學年度北區第二次模擬考數甲，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA660.swf)
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid5066

5.
由邊長為1的正三角形堆疊n層，試問邊長為6時(即a6 )，所有大大小小之平行四邊形總數為

102.3.28補充
有多少個平行四邊形？
http://books.google.com.tw/books ... e&q&f=false

102.4.23補充
The sides of an equilateral triangle ABC are divided into n equal parts ( n2 ). For each point on a side, we draw the lines parallel to other sides of the triangle ABC, e.g. for n=3 we have the following diagram:

For each n2 find the number of existing parallelograms.
(Canada National Olympiad 1991，https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/exam1991.pdf)

110.5.3補充
設AB為圓x2+y2=37的一弦，若點P(12)在AB上，且為AB的三等分點之一，試求直線AB的方程式　　　。
(110彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3514&page=1#pid22759)

引用:

原帖由 cellistlu 於 2013-4-9 20:07 發表
Sorry
請問[填充3]廣義柯西要如何湊數字呢?
還是想不出來如何組合

3.
設x、y、z均為正數，且36x+9y+4z=49，求\root 3 \of{x}+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26}的最大值為　　　。
[解答]
根據廣義的柯西不等式a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3 \ge 0都是非負實數
則必 (a_1^3+a_2^3+a_3^3)(b_1^3+b_2^3+b_3^3)(c_1^3+c_2^3+c_3^3)\ge (a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+a_3b_3c_3)^3
僅當a_1:b_1:c_1=a_2:b_2:c_2=a_3:b_3:c_3=\root 3 \of A:\root 3 \of B:\root 3 \of C時等號成立
其中a_1^3+a_2^3+a_3^3=A，b_1^3+b_2^3+b_3^3=B，c_1^3+c_2^3+c_3^3=C。
http://www3.cnsh.mlc.edu.tw/~mat ... equality_3-2-2_.pdf

\displaystyle [36x+9(y+7)+4(z+26)] \left( \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4} \right) \left( \frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9} \right)\ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3
thepiano的係數 \displaystyle \left( \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4} \right) \left( \frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9} \right) 就是從等號成立時的條件找出來的

假設原來係數不知道
  \displaystyle [36x+9(y+7)+4(z+26)] (b_1^3+b_2^3+b_3^3) (c_1^3+c_2^3+c_3^3) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3
\root 3 \of{36x}\cdot b_1 \cdot c_1=\root 3 \of x ，得到 \displaystyle b_1 \cdot c_1=\frac{1}{\root 3 \of{36}} …(1)
\root 3 \of{9(y+7)}\cdot b_2 \cdot c_2=\root 3 \of {y+7} ，得到 \displaystyle b_2 \cdot c_2=\frac{1}{\root 3 \of 9} …(2)
\root 3 \of{4(z+26)}\cdot b_3 \cdot c_3=\root 3 \of {z+26} ，得到 \displaystyle b_3 \cdot c_3=\frac{1}{\root 3 \of 4} …(3)

等號成立時
\root 3 \of{36x}:b_1:c_1 = \root 3 \of{9(y+7)}:b_2:c_2 = \root 3 \of{4(z+26)}:b_3:c_3=\root 3 \of{216}:\root 3 \of{b_1^3+b_2^3+b_2^3}:\root 3 \of{c_1^3+c_2^3+c_2^3} …(4)

利用(1)(2)(3)式替換
\displaystyle \root 3 \of{36x}:\frac{1}{\root 3 \of{36}c_1}:c_1 =\root 3 \of{9(y+7)}:\frac{1}{\root 3 \of{9}c_2}:c_2 =\root 3 \of{4(z+26)}:\frac{1}{\root 3 \of{4}c_3}:c_3

  \displaystyle \frac{\root 3 \of{36x}}{c_1}:\frac{1}{\root 3 \of{36}c_1^2}:1 =\frac{\root 3 \of{9(y+7)}}{c_2}:\frac{1}{\root 3 \of{9}c_2^2}:1 =\frac{\root 3 \of{4(z+26)}}{c_3}:\frac{1}{\root 3 \of{4}c_3^2}:1

\displaystyle \frac{1}{\root 3 \of{36}c_1^2}=\frac{1}{\root 3 \of{9}c_2^2}=\frac{1}{\root 3 \of{4}c_3^2}=t^2

\displaystyle c_1=\frac{1}{\root 3 \of 6 t} ， \displaystyle c_2=\frac{1}{\root 3 \of 3 t} ， \displaystyle c_3=\frac{1}{\root 3 \of 2 t}

利用(1)(2)(3)式替換
\displaystyle b_1=\frac{t}{\root 3 \of 6} ， \displaystyle b_2=\frac{t}{\root 3 \of 3} ， \displaystyle b_3=\frac{t}{\root 3 \of 2} ，

代入(4)式
\displaystyle \root 3 \of{36x}:\frac{t}{\root 3 \of 6}:\frac{1}{\root 3 \of 6 t} = \root 3 \of{9(y+7)}:\frac{t}{\root 3 \of 3}:\frac{1}{\root 3 \of 3 t} = \root 3 \of{4(z+26)}:\frac{t}{\root 3 \of 2}:\frac{1}{\root 3 \of 2 t}=\root 3 \of{216}:\root 3 \of{\frac{t^3}{6}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^3}{2}}:\root 3 \of{\frac{1}{6t^3}+\frac{1}{3t^3}+\frac{1}{2t^3}}

\displaystyle \root 3 \of{216x}:t:\frac{1}{t}=\root 3 \of{27(y+7)}:t:\frac{1}{t}=\root 3 \of{8(z+26)}:t:\frac{1}{t}=6:t:\frac{1}{t}

\root 3 \of{216x}=6 ，得到x=1
\root 3 \of{27(y+7)}=6 ，得到y=1
\root 3 \of{8(z+26)}=6 ，得到z=1

取 \displaystyle t=\root 3 \of{\frac{3}{2}}
\displaystyle b_1=\root 3 \of{\frac{1}{4}},b_2=\root 3 \of{\frac{2}{4}},b_3=\root 3 \of{\frac{3}{4}} ， \displaystyle c_1=\root 3 \of{\frac{1}{9}},c_2=\root 3 \of{\frac{2}{9}},c_3=\root 3 \of{\frac{3}{9}}
就是thepiano的係數 \displaystyle \left( \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4} \right)\left( \frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9} \right)

或者取 t=1
\displaystyle b_1=\root 3 \of{\frac{1}{6}},b_2=\root 3 \of{\frac{1}{3}},b_3=\root 3 \of{\frac{1}{2}} ， \displaystyle c_1=\root 3 \of{\frac{1}{6}},c_2=\root 3 \of{\frac{1}{3}},c_3=\root 3 \of{\frac{1}{2}}
係數就變成 \displaystyle \left( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right)\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right)

但無論t值為多少
\displaystyle [36x+9(y+7)+4(z+26)]\left( \frac{t^3}{6}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^3}{2} \right)\left( \frac{1}{6t^3}+\frac{1}{3t^3}+\frac{1}{2t^3} \right) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3

\displaystyle [216](t^3)\left( \frac{1}{t^3} \right) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3

6 \ge \root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26}

最大值都是6