1.
如圖，在地平面的三點\(A\)、\(B\)、\(C\)，分別測得大樓\(\overline{OH}\)樓頂\(H\)的仰角依序為\(\theta\)、\(2\theta\)、\(3\theta\)。已知\(\overline{AB}=240\)公尺，\(\overline{BC}=90\)公尺，求樓高\(\overline{OH}\)為　　　公尺。

某人在地面\(A\)點，測得山峰的仰角為\(\theta\)，此人向山腳前進100公尺到達\(B\)，測得山峰仰角為\(2\theta\)，再向山腳前進40公尺到達\(C\)，又測得山峰仰角為\(3\theta\)，則山高為　　　公尺。
(101中正高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1422&page=1#pid6435)

2.
設\(z\)為複數且\(|\;z|\;=1\)，若\(|\;z^2+iz+1|\;\)的最大值為\(a\)，最小值為\(b\)，則數對\((a,b)=\)　　　。

若\( z \in C \)，\( |\; z |\;=1 \)，則\( |\; z^2-z+2 |\; \)的最小值為？
(100南港高工，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600)

3.
若正數數列 \(\langle a_n \rangle\) 滿足 \(a_1 = 1\)，且對於 \(n \ge 2\) 時皆滿足\(\displaystyle \sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}} = \frac{a_n}{2n-1}\)，其中 \(S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)，則 \(S_n\) 的一般項為　　　。

4.
化簡 \(\sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}}=\)　　　。

5.
有個半徑為 1 單位的圓及圓外一點\(P\)，今由\(P\)點往此圓作兩條切線可得兩個切點\(A\)、\(B\)，則 \(\vec{PA} \cdot \vec{PB}\) 的最小值為　　　。

8.
極限值 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n + n^2 + n^3 + \cdots + n^n}{1^n + 2^n + 3^n + \cdots + n^n} =\)　　　。

10.
在平面上，點 \(P_2, P_3, \dots, P_6\) 為 \(\overline{P_1P_7}\) 的等分點，且 \(\overline{P_1P_2} = \overline{P_2P_3} = \cdots = \overline{P_6P_7} = 2\)，\(\overline{AP_1} = 6\)，\(\overline{AP_7} = 8\)，試求：\(\vec{AP_1} \cdot \vec{P_1P_7} + \vec{AP_2} \cdot \vec{P_1P_7} + \vec{AP_3} \cdot \vec{P_1P_7} + \dots + \vec{AP_7} \cdot \vec{P_1P_7} =\)　　　。

12.
空間中有 \(A(1, 4, 2)\)、\(B(3, 4, 4)\) 兩點，球面 \(S\) 通過 \(A, B\) 兩點，其球心 \(O\) 在平面 \(5x - 2y + 5z = 3\) 上。若平面 \(E : x + y + z = 19\) 截此球面 \(S\) 所得之截圓面積為 \(F(S)\)，則 \(F(S)\) 的最小值為　　　。

二、計算證明題
1.
設數列 \(a_n = C^n_0 + C^n_1 + \cdots + C^n_n\)，其中 \(\displaystyle C^n_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)，則根據二項式定理可得 \(a_n\) 的一般項為 \(2^n\)。
(1) 令 \(b_n = 1 \cdot C^n_1 + \cdots + k \cdot C^n_k + \cdots + n \cdot C^n_n\)，試求 \(b_n\) 的一般項。
(2) 令 \(d_n = 1^2 \cdot C^n_1 + \cdots + k^2 \cdot C^n_k + \cdots + n^2 \cdot C^n_n\)，試求 \(d_n\) 的一般項。

2.
設 \(a\) 為整數且 \(x^{13} + x + 90\) 可分解為 \(x^2 - x + a\) 與一個整係數多項式的乘積，則 \(a\) 的值為何？